Bài 2. Cấp số cộng

Bài 2. Cấp số cộng - SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo

1. Định nghĩa cấp số cộng

Cấp số cộng là một dãy số mà mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ hai, bằng số hạng đứng trước nó cộng với một số không đổi, gọi là công sai (d). Công thức tổng quát của cấp số cộng là: u_n+1 = u_n + d, với n ≥ 1.

2. Các tính chất của cấp số cộng

• Nếu một dãy số (u_n) là cấp số cộng thì các số u₁, u₂, u₃,... là các số hạng của cấp số cộng.
• Nếu một dãy số (u_n) thỏa mãn u_n+1 = u_n + d với mọi n ≥ 1 thì (u_n) là cấp số cộng.

3. Số hạng tổng quát của cấp số cộng

Số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) được tính bằng công thức: u_n = u₁ + (n - 1)d, trong đó:

• u₁ là số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
• d là công sai của cấp số cộng.
• n là số thứ tự của số hạng cần tìm.

4. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng (S_n) được tính bằng công thức:

S_n = (n/2) * (u₁ + u_n) hoặc S_n = (n/2) * [2u₁ + (n - 1)d]

5. Ví dụ minh họa

Cho cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 2 và công sai d = 3. Hãy tìm số hạng thứ 5 và tổng của 5 số hạng đầu tiên.

Giải:

• Số hạng thứ 5: u₅ = u₁ + (5 - 1)d = 2 + 4 * 3 = 14
• Tổng của 5 số hạng đầu tiên: S₅ = (5/2) * (u₁ + u₅) = (5/2) * (2 + 14) = 40

6. Bài tập áp dụng

Hãy giải các bài tập sau để củng cố kiến thức về cấp số cộng:

1. Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng có u₁ = 1 và d = 2.
2. Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng có u₁ = 3 và d = -1.
3. Một cấp số cộng có u₅ = 10 và u₁₀ = 19. Tìm u₁ và d.

7. Ứng dụng của cấp số cộng

Cấp số cộng có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:

• Tính số tiền lãi khi gửi tiết kiệm với lãi suất cố định.
• Tính chiều dài các cạnh của một hình vuông hoặc hình chữ nhật khi tăng dần theo một quy luật nhất định.
• Tính số lượng người trong một dòng họ qua các thế hệ.

8. Kết luận

Bài học về cấp số cộng đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng về dãy số này. Việc nắm vững các định nghĩa, tính chất, công thức và ứng dụng của cấp số cộng sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.