THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 3 trang 54, 55 sách giáo khoa Toán 11 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức, hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, đầy đủ và trình bày một cách rõ ràng nhất để hỗ trợ tối đa cho quá trình học tập của các em.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có công sai \(d\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có công sai \(d\).
a) Tính các tổng: \({u_1} + {u_n};{u_2} + {u_{n - 1}};{u_3} + {u_{n - 2}};...;{u_k} + {u_{n - k + 1}}\) theo \({u_1},n\) và \(d\).
b) Chứng tỏ rằng \(2\left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_n}} \right) = n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)\).
Phương pháp giải:
a) Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\) thì số hạng tổng quát là: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d,n \ge 2\).
b) Cộng vế với vế các kết quả của câu a).
Lời giải chi tiết:
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}{u_1} + {u_n} = {u_1} + \left[ {{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] = {u_1} + {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d\\{u_2} + {u_{n - 1}} = \left[ {{u_1} + d} \right] + \left[ {{u_1} + \left( {\left( {n - 1} \right) - 1} \right)d} \right] = {u_1} + d + {u_1} + \left( {n - 2} \right)d = 2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d\\{u_3} + {u_{n - 2}} = \left[ {{u_1} + 2d} \right] + \left[ {{u_1} + \left( {\left( {n - 3} \right) - 1} \right)d} \right] = {u_1} + 2d + {u_1} + \left( {n - 3} \right)d = 2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d\\ \vdots \\{u_k} + {u_{n - k + 1}} = \left[ {{u_1} + \left( {k - 1} \right)d} \right] + \left[ {{u_1} + \left( {\left( {n - k + 1} \right) - 1} \right)d} \right]\\ & = {u_1} + \left( {k - 1} \right)d + {u_1} + \left( {n - k} \right)d = 2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d\end{array}\)
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}{u_1} + {u_n} = 2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d\\{u_2} + {u_{n - 1}} = 2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d\\{u_3} + {u_{n - 2}} = 2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d\\ \vdots \\{u_n} + {u_1} = 2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d\end{array}\)
Cộng vế với vế ta được:
\(\begin{array}{l}2\left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_n}} \right) = n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]\\ \Leftrightarrow 2\left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_n}} \right) = n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)\end{array}\)
a) Tính tổng 50 số tự nhiên chẵn đầu tiên.
b) Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_3} + {u_{28}} = 100\). Tính tổng 30 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
c) Cho cấp số cộng \(\left( {{v_n}} \right)\) có \({S_6} = 18\) và \({S_{10}} = 110\). Tính \({S_{20}}\).
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính tổng \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\) là: \({S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\).
Lời giải chi tiết:
a) Ta có thể sắp xếp 50 số tự nhiên chẵn đầu tiên thành cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 0\) và công sai \(d = 2\).
\( \Rightarrow {S_{50}} = \frac{{50\left[ {2.0 + \left( {50 - 1} \right).2} \right]}}{2} = 2450\)
b) Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\).
Ta có: \({u_3} + {u_{28}} = \left( {{u_1} + 2{\rm{d}}} \right) + \left( {{u_1} + 27{\rm{d}}} \right) = 2{u_1} + 29{\rm{d}} \Leftrightarrow 2{u_1} + 29{\rm{d}} = 100\)
\( \Rightarrow {S_{30}} = \frac{{30\left[ {2{u_1} + 29{\rm{d}}} \right]}}{2} = \frac{{30.100}}{2} = 1500\)
c) Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu \({v_1}\) và công sai \(d\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}{S_6} = 18 \Leftrightarrow \frac{{6\left[ {2{v_1} + 5{\rm{d}}} \right]}}{2} = 18 \Leftrightarrow 2{v_1} + 5{\rm{d}} = 6\left( 1 \right)\\{S_{10}} = 110 \Leftrightarrow \frac{{10\left[ {2{v_1} + 9{\rm{d}}} \right]}}{2} = 110 \Leftrightarrow 2{v_1} + 9{\rm{d}} = 22\left( 1 \right)\end{array}\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2{v_1} + 5{\rm{d}} = 6\\2{v_1} + 9{\rm{d}} = 22\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{v_1} = - 7\\{\rm{d}} = 4\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {S_{20}} = \frac{{20\left[ {2{v_1} + 19{\rm{d}}} \right]}}{2} = \frac{{20\left[ {2.\left( { - 7} \right) + 19.4} \right]}}{2} = 620\)
Một rạp hát có 20 hàng ghế xếp theo hình quạt. Hàng thứ nhất có 17 ghế, hàng thứ hai có 20 ghế, hàng thứ ba có 23 ghế,… cứ thế tiếp tục cho đến hàng cuối cùng (Hình 4).
a) Tính số ghế có ở hàng cuối cùng.
b) Tính tổng số ghế có trong rạp.
Phương pháp giải:
‒ Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\) thì số hạng tổng quát là: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d,n \ge 2\).
‒ Sử dụng công thức tính tổng \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\) là: \({S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\).
Lời giải chi tiết:
Theo đề bài ta có dãy số chỉ số ghế có ở các hàng là một cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 17\) và công sai \(d = 3\).
a) Số ghế có ở hàng cuối cùng là: \({u_{20}} = {u_1} + 19{\rm{d}} = 17 + 19.3 = 74\) (ghế).
b) Tổng số ghế có trong rạp là: \({S_{20}} = \frac{{20\left[ {2{u_1} + 19{\rm{d}}} \right]}}{2} = \frac{{20\left[ {2.17 + 19.3} \right]}}{2} = 910\) (ghế).
Mục 3 trong SGK Toán 11 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo tập trung vào việc nghiên cứu về giới hạn của hàm số. Đây là một khái niệm nền tảng quan trọng trong giải tích, giúp học sinh hiểu rõ hơn về hành vi của hàm số khi biến số tiến tới một giá trị nhất định. Việc nắm vững kiến thức về giới hạn hàm số là bước đệm quan trọng để học sinh tiếp cận các khái niệm phức tạp hơn như đạo hàm và tích phân.
Mục 3 bao gồm các nội dung chính sau:
a) lim (x→2) (x^2 + 3x - 1)
Để tính giới hạn này, ta có thể thay trực tiếp x = 2 vào biểu thức:
lim (x→2) (x^2 + 3x - 1) = 2^2 + 3*2 - 1 = 4 + 6 - 1 = 9
b) lim (x→-1) (x^3 - 2x + 5)
Tương tự, ta thay x = -1 vào biểu thức:
lim (x→-1) (x^3 - 2x + 5) = (-1)^3 - 2*(-1) + 5 = -1 + 2 + 5 = 6
a) lim (x→3) (x - 3) / (x^2 - 9)
Ta có thể phân tích mẫu số thành nhân tử:
(x - 3) / (x^2 - 9) = (x - 3) / ((x - 3)(x + 3)) = 1 / (x + 3)
Vậy, lim (x→3) (x - 3) / (x^2 - 9) = lim (x→3) 1 / (x + 3) = 1 / (3 + 3) = 1/6
b) lim (x→0) (x^2 + 2x) / x
Ta có thể rút gọn biểu thức:
(x^2 + 2x) / x = x + 2
Vậy, lim (x→0) (x^2 + 2x) / x = lim (x→0) (x + 2) = 0 + 2 = 2
Để giải các bài tập về giới hạn hàm số một cách hiệu quả, các em có thể áp dụng các phương pháp sau:
Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức và phương pháp giải bài tập về giới hạn hàm số một cách hiệu quả. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
