Bài 3 trang 51 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Bài 3 trang 51 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết Bài 3 trang 51 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo. Bài học này thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng giải các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm.
Tại montoan.com.vn, chúng tôi cung cấp lời giải bài tập Toán 11 đầy đủ, chính xác, giúp các em hiểu rõ kiến thức và tự tin làm bài tập.
Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = 2{{\rm{x}}^3} - {x^2} + 3\) và \(g\left( x \right) = {x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} - 5\).
Đề bài
Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = 2{{\rm{x}}^3} - {x^2} + 3\) và \(g\left( x \right) = {x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} - 5\). Bất phương trình \(f'\left( x \right) > g'\left( x \right)\) có tập nghiệm là
A. \(\left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\).
B. \(\left( {0;1} \right)\).
C. \(\left[ {0;1} \right]\).
D. \(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tính \(f'\left( x \right),g'\left( x \right)\) sau đó giải bất phương trình \(f'\left( x \right) > g'\left( x \right)\).
Lời giải chi tiết
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 2.3{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} = 6{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}}\\g'\left( x \right) = 3{{\rm{x}}^2} + \frac{1}{2}.2{\rm{x}} = 3{{\rm{x}}^2} + x\\f'\left( x \right) > g'\left( x \right) \Leftrightarrow 6{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} > 3{{\rm{x}}^2} + x \Leftrightarrow 3{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} > 0 \Leftrightarrow 3{\rm{x}}\left( {x - 1} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < 0\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).
Chọn D.
Bài 3 trang 51 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo: Giải chi tiết và hướng dẫn
Bài 3 trang 51 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng trong chương trình học, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:
Nội dung bài tập
Bài 3 yêu cầu học sinh giải các bài toán liên quan đến việc tìm đạo hàm của hàm số, xét tính đơn điệu của hàm số và tìm cực trị của hàm số. Cụ thể, bài tập có thể bao gồm các dạng sau:
- Tìm đạo hàm của hàm số y = f(x)
- Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
- Tìm cực đại, cực tiểu của hàm số
Lời giải chi tiết
Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
- Định nghĩa đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là giới hạn của tỷ số \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\ khi x tiến tới x0.
- Các quy tắc tính đạo hàm: Quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số.
- Đạo hàm của các hàm số cơ bản: Đạo hàm của hàm số lũy thừa, hàm số lượng giác, hàm số mũ, hàm số logarit.
- Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu: Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a, b) nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc (a, b). Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (a, b) nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc (a, b).
- Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị: Hàm số y = f(x) có cực đại tại điểm x0 nếu f'(x0) = 0 và f'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0. Hàm số y = f(x) có cực tiểu tại điểm x0 nếu f'(x0) = 0 và f'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0.
Ví dụ, xét hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Để tìm đạo hàm của hàm số này, ta áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm số lũy thừa:
y' = 3x2 - 6x
Để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số, ta xét dấu của đạo hàm y':
3x2 - 6x > 0 ⇔ x < 0 hoặc x > 2
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞), nghịch biến trên khoảng (0, 2).
Để tìm cực đại, cực tiểu của hàm số, ta giải phương trình y' = 0:
3x2 - 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2
Ta thấy rằng y' đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua 0, do đó hàm số có cực đại tại x = 0. Giá trị cực đại là y(0) = 2.
y' đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua 2, do đó hàm số có cực tiểu tại x = 2. Giá trị cực tiểu là y(2) = -2.
Lưu ý khi giải bài tập
- Đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài tập.
- Nắm vững các kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm.
- Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm một cách chính xác.
- Kiểm tra lại kết quả sau khi giải bài tập.
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn trên, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về Bài 3 trang 51 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo và tự tin giải các bài tập tương tự. Chúc các em học tập tốt!
| Hàm số | Đạo hàm | Khoảng đồng biến | Khoảng nghịch biến | Cực đại | Cực tiểu |
|---|---|---|---|---|---|
| y = x3 - 3x2 + 2 | y' = 3x2 - 6x | (-∞, 0) và (2, +∞) | (0, 2) | (0, 2) | (2, -2) |
