THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, Góc nhị diện trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng quan trọng về hình học không gian.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu định nghĩa, tính chất, các công thức tính góc và ứng dụng của các khái niệm này trong giải bài tập. Mục tiêu là giúp bạn hiểu rõ bản chất và có thể áp dụng linh hoạt vào các bài toán thực tế.
1. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng \({90^0}\).
1. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng \({90^0}\).
Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên (P) được gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).
Chú ý:
a) Góc \(\alpha \) giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn thỏa mãn \({0^0} \le \alpha \le {90^0}\).
b) Nếu đường thẳng a nằm trong (P) hoặc a song song với (P) thì \(\left( {a,\left( P \right)} \right) = {0^0}\).
2. Góc nhị diện và góc phẳng nhị diện
Góc nhị diện
Cho hai nửa mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{Q_1}} \right)\) có chung bờ là đường thẳng d. Hình tạo bởi \(\left( {{P_1}} \right)\), \(\left( {{Q_1}} \right)\) và d được gọi là góc nhị diện tạo bởi \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{Q_1}} \right)\), kí hiệu \(\left[ {{P_1},d,{Q_1}} \right]\).
Hai nửa mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\), \(\left( {{Q_1}} \right)\) gọi là hai mặt của nhị diện và d gọi là cạnh của nhị diện.
Chú ý:
a) Hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến d tạo thành bốn góc nhị diện.
b) Góc nhị diện \(\left[ {{P_1},d,{Q_1}} \right]\) còn được kí hiệu là \(\left[ {M,d,N} \right]\) với M, N tương ứng thuộc hai nửa mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{Q_1}} \right)\).
Góc phẳng nhị diện
Góc phẳng nhị diện của góc nhị diện là góc có đỉnh nằm trên cạnh của nhị diện, có hai cạnh lần lượt nằm trên hai mặt của nhị diện và vuông góc với cạnh của nhị diện.
Chú ý:
a) Đối với một góc nhị diện, các góc phẳng nhị diện đều bằng nhau.
b) Nếu mặt phẳng (R) vuông góc với cạnh d của góc nhị diện và cắt hai mặt \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{Q_1}} \right)\) của góc nhị diện theo hai nửa đường thẳng Ou và Ov thì \(\widehat {uOv}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện tạo bởi \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{Q_1}} \right)\).
c) Góc nhị diện có góc phẳng nhị diện là góc vuông được gọi là góc nhị diện vuông.
d) Số đo góc phẳng nhị diện được gọi là số đo góc nhị diện.
e) Số đo góc nhị diện nhận giá trị từ \({0^0}\) đến \({180^0}\).
Trong chương trình Hình học không gian lớp 11, việc nắm vững kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc nhị diện là vô cùng quan trọng. Đây là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn liên quan đến quan hệ vuông góc trong không gian.
1. Định nghĩa: Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng d và hình chiếu của d trên mặt phẳng (P). Góc này luôn nhỏ hơn hoặc bằng 90°.
2. Cách tính góc:
3. Ví dụ minh họa: Xét hình chóp S.ABCD, góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABCD) là góc giữa SA và hình chiếu của SA trên (ABCD), thường là góc SAO, với O là hình chiếu của S trên (ABCD).
1. Định nghĩa: Góc nhị diện là hình tạo bởi hai nửa mặt phẳng có chung một đường thẳng. Đường thẳng chung đó gọi là cạnh của góc nhị diện. Hai nửa mặt phẳng gọi là hai mặt của góc nhị diện.
2. Cách đo góc nhị diện: Góc nhị diện được đo bằng góc giữa hai đường thẳng vuông góc với cạnh của góc nhị diện, nằm trong hai nửa mặt phẳng khác nhau.
3. Ví dụ minh họa: Xét hình chóp S.ABCD, góc nhị diện tại cạnh SA là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD). Để đo góc này, ta thường dựng đường vuông góc chung của SA, gọi là AH, và tính góc BAH.
Trong nhiều bài toán, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có liên quan mật thiết đến góc nhị diện. Việc hiểu rõ mối quan hệ này giúp ta giải quyết bài toán một cách hiệu quả.
Ví dụ, nếu đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), thì góc nhị diện tại cạnh SA bằng 90°.
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).
Hướng dẫn: Kẻ AH vuông góc với SC. Tính AH và SC, sau đó tính sin góc giữa SC và (ABCD).
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a√2, SB = a√3, SC = a√5, SD = a√6. Tính góc nhị diện tại cạnh SA.
Hướng dẫn: Tính cos góc nhị diện bằng công thức liên quan đến các cạnh và đường cao của hình chóp.
Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về lý thuyết Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện - Toán 11 Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
