THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Hàm số liên tục trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo tại montoan.com.vn. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng và quan trọng nhất về hàm số liên tục, giúp bạn giải quyết các bài tập một cách hiệu quả.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá định nghĩa, điều kiện, tính chất và các ứng dụng của hàm số liên tục.
1. Hàm số liên tục tại 1 điểm
1. Hàm số liên tục tại 1 điểm
Cho hàm \(y = f(x)\) xác định trên khoảng K, \({x_0} \in K\). Hàm số \(f(x)\) được gọi là liên tục tại điểm \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})\).
Hàm số không liên tục tại \({x_0}\) được gọi là gián đoạn tại điểm đó.
*Nhận xét: Để hàm số \(y = f(x)\) liên tục tại \({x_0}\) thì phải có cả 3 điều sau:
2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn
- Hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\)
Hàm số \(y = f(x)\)được gọi là liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\)nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.
- Hàm số \(y = f(x)\)được gọi là liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)nếu nó liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\)và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f(a),\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x) = f(b)\).
* Nhận xét:
- Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn là “đường liền” trên khoảng, đoạn đó.
- Nếu hàm số\(y = f(x)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và \(f(a).f(b) < 0\)thì phương trình \(f(x) = 0\)có ít nhất một nghiệm trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\).
3. Tính liên tục của hàm sơ cấp cơ bản
- Hàm số đa thức và hàm số \(y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}},y = c{\rm{osx}}\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
- Các hàm số \(y = \tan {\rm{x}},y = c{\rm{otx,}}y = \sqrt x \)và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.
2. Tổng, hiệu, tích, thương của hàm số liên tục
Giả sử hai hàm số \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0}\). Khi đó:
a, Các hàm số \(y = f(x) \pm g(x)\)và \(y = f(x).g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0}\).
b, Hàm số \(y = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) liên tục tại điểm \({x_0}\)nếu \(g({x_0}) \ne 0\).
Hàm số liên tục là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong giải tích, đóng vai trò nền tảng cho nhiều kiến thức nâng cao hơn như đạo hàm, tích phân và các ứng dụng trong thực tế. Trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo, việc nắm vững lý thuyết hàm số liên tục là điều kiện cần thiết để giải quyết các bài toán liên quan.
Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:
Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng (a; b).
Các hàm số liên tục có một số tính chất quan trọng sau:
Một số hàm số thường gặp được coi là liên tục trên tập xác định của chúng:
Lý thuyết hàm số liên tục có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:
Ví dụ 1: Xét hàm số f(x) = x2 + 1. Chứng minh rằng hàm số này liên tục tại mọi điểm thuộc tập số thực.
Giải: Hàm số f(x) = x2 + 1 là một hàm đa thức, do đó nó liên tục trên tập số thực. Điều này có nghĩa là nó liên tục tại mọi điểm x0 thuộc tập số thực.
Ví dụ 2: Xét hàm số f(x) = 1/x. Hàm số này liên tục trên khoảng nào?
Giải: Hàm số f(x) = 1/x là một hàm phân thức hữu tỷ. Nó liên tục trên khoảng (−∞; 0) và (0; +∞). Nó không liên tục tại x = 0 vì hàm số không xác định tại điểm này.
Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về lý thuyết Hàm số liên tục - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!
