Lý thuyết Cấp số nhân - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo
Lý thuyết Cấp số nhân - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Cấp số nhân trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo tại montoan.com.vn. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức nền tảng, công thức quan trọng và các ví dụ minh họa để bạn hiểu rõ về cấp số nhân.
Chúng tôi cam kết mang đến cho bạn trải nghiệm học toán online hiệu quả và thú vị. Hãy cùng bắt đầu khám phá thế giới của cấp số nhân!
1. Cấp số nhân
1. Cấp số nhân
Cấp số nhân là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng ngay trước nó với một số không đổi q, nghĩa là:
\({u_n} = {u_{n - 1}}.q,n \in {\mathbb{N}^*}\)
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
* Chú ý: Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân thì \({u_k}^2 = {u_{k - 1}}.{u_{k + 1}}\left( {k \ge 2} \right)\).
2. Số hạng tổng quát của cấp số nhân
Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội q thì số hạng tổng quát \({u_n}\)của nó được xác định bởi công thức
\({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},n \ge 2\)
3. Tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\)với công bội \(q \ne 1\). Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}\). Khi đó
\({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\)
Lý thuyết Cấp số nhân - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo
Cấp số nhân là một dãy số đặc biệt, trong đó mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng trước đó với một số không đổi gọi là công bội. Hiểu rõ về cấp số nhân là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến dãy số và chuỗi số trong chương trình Toán 11.
1. Định nghĩa Cấp số nhân
Một dãy số (un) được gọi là cấp số nhân nếu có một số thực q ≠ 0 sao cho:
- un+1 = q.un với mọi n ≥ 1
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
2. Các tính chất của Cấp số nhân
Cấp số nhân có những tính chất quan trọng sau:
- Nếu u1 = a và q là công bội thì số hạng tổng quát của cấp số nhân là: un = a.qn-1
- Nếu ba số liên tiếp un-1, un, un+1 tạo thành một cấp số nhân thì un2 = un-1.un+1
3. Công thức tính tổng n số hạng đầu của Cấp số nhân
Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân (Sn) được tính theo công thức:
Sn = u1.(1 - qn) / (1 - q) (với q ≠ 1)
Nếu q = 1 thì Sn = n.u1
4. Các dạng bài tập thường gặp về Cấp số nhân
Các bài tập về cấp số nhân thường xoay quanh các nội dung sau:
- Xác định công bội của cấp số nhân.
- Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân.
- Tính tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
- Ứng dụng cấp số nhân vào giải quyết các bài toán thực tế.
5. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 2 và công bội q = 3. Tính số hạng thứ 5 của cấp số nhân.
Giải: Số hạng thứ 5 của cấp số nhân là u5 = u1.q5-1 = 2.34 = 2.81 = 162
Ví dụ 2: Cho cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 1 và công bội q = -2. Tính tổng của 6 số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
Giải: Tổng của 6 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là S6 = u1.(1 - q6) / (1 - q) = 1.(1 - (-2)6) / (1 - (-2)) = (1 - 64) / 3 = -63 / 3 = -21
6. Luyện tập và củng cố kiến thức
Để nắm vững kiến thức về cấp số nhân, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Dưới đây là một số bài tập luyện tập:
- Tìm công bội của cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 5 và u3 = 20.
- Tìm số hạng thứ 10 của cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 3 và công bội q = 2.
- Tính tổng của 8 số hạng đầu tiên của cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 1 và công bội q = -1.
7. Kết luận
Lý thuyết Cấp số nhân là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc hiểu rõ định nghĩa, tính chất và công thức tính tổng của cấp số nhân sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.
