Lý thuyết Các quy tắc tính đạo hàm - Toán 11 Chân trời sáng tạo
Lý thuyết Các quy tắc tính đạo hàm - Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chào mừng bạn đến với bài học về các quy tắc tính đạo hàm trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo. Đây là một phần kiến thức vô cùng quan trọng, nền tảng cho việc giải quyết các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong các lĩnh vực khác.
Bài học này sẽ cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan về các quy tắc tính đạo hàm cơ bản, cùng với các ví dụ minh họa cụ thể để bạn dễ dàng hiểu và áp dụng.
1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc tập xác định.
1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc tập xác định. Khi đó
\(\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {u + v} \right)}^\prime } = u' + v';}\\{{{\left( {u - v} \right)}^\prime } = u' - v';}\\{{{\left( {uv} \right)}^\prime } = u'v + uv';}\\{{{\left( {\frac{u}{v}} \right)}^\prime } = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\left( {v = v\left( x \right) \ne 0} \right);}\end{array}\)
\(\left( {C.v} \right)' = C.v'\) (C là hằng số);
\(\left( {\frac{1}{v}} \right)' = - \frac{{v'}}{{{v^2}}}\left( {v \ne 0} \right)\).
2. Đạo hàm của hàm hợp
Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là \(u{'_x}\) và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại y là \(y{'_u}\) thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là \(y{'_x} = y{'_u}.u{'_x}\).
3. Bảng đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản và hàm hợp
4. Đạo hàm cấp hai
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mọi điểm \(x \in \left( {a;b} \right)\) thì ta có hàm số \(y' = f'\left( x \right)\) xác định trên (a; b).
Nếu hàm số y’ = f’(x) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại x, kí hiệu là y” hoặc f”(x).
\(f''\left( x \right) = \left( {f'\left( x \right)} \right)'\).
Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
Đạo hàm cấp hai f”(t) là gia tốc tức thời tại thời điểm t của vân chuyển động có phương trình \(s = f\left( t \right)\).
Lý thuyết Các quy tắc tính đạo hàm - Toán 11 Chân trời sáng tạo
Đạo hàm là một khái niệm cơ bản trong giải tích, mô tả tốc độ thay đổi tức thời của một hàm số. Việc nắm vững các quy tắc tính đạo hàm là điều kiện cần thiết để giải quyết các bài toán liên quan đến đạo hàm, đồng thời là nền tảng cho việc học các kiến thức nâng cao hơn trong toán học.
1. Đạo hàm của hàm số đơn giản
Trước khi đi vào các quy tắc tính đạo hàm phức tạp, chúng ta cần nắm vững đạo hàm của một số hàm số đơn giản:
- Đạo hàm của hàm hằng: (c)' = 0, với c là một hằng số.
- Đạo hàm của hàm số mũ: (xn)' = nxn-1, với n là một số thực.
- Đạo hàm của hàm số lượng giác:
- (sin x)' = cos x
- (cos x)' = -sin x
- (tan x)' = 1/cos2 x
- (cot x)' = -1/sin2 x
- Đạo hàm của hàm số logarit: (loga x)' = 1/(x ln a)
- Đạo hàm của hàm số mũ: (ax)' = ax ln a
2. Các quy tắc tính đạo hàm
Trong quá trình giải toán, chúng ta thường gặp các hàm số phức tạp được tạo thành từ các hàm số đơn giản bằng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia. Để tính đạo hàm của các hàm số này, chúng ta sử dụng các quy tắc sau:
2.1. Quy tắc đạo hàm của tổng và hiệu
(u + v)' = u' + v'
(u - v)' = u' - v'
Trong đó, u và v là các hàm số.
2.2. Quy tắc đạo hàm của tích
(uv)' = u'v + uv'
Trong đó, u và v là các hàm số.
2.3. Quy tắc đạo hàm của thương
(u/v)' = (u'v - uv')/v2
Trong đó, u và v là các hàm số, v ≠ 0.
2.4. Quy tắc đạo hàm của hàm hợp
Nếu y = f(u) và u = g(x), thì dy/dx = (dy/du) * (du/dx)
Đây là quy tắc quan trọng nhất để tính đạo hàm của các hàm số phức tạp.
3. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số y = 3x2 + 2x - 1
Giải:
y' = (3x2)' + (2x)' - (1)' = 6x + 2 - 0 = 6x + 2
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số y = sin(x2)
Giải:
Đặt u = x2, thì y = sin(u)
dy/dx = (dy/du) * (du/dx) = cos(u) * 2x = cos(x2) * 2x = 2x cos(x2)
4. Luyện tập
Để củng cố kiến thức về các quy tắc tính đạo hàm, bạn hãy tự giải các bài tập sau:
- Tính đạo hàm của hàm số y = 5x3 - 4x + 7
- Tính đạo hàm của hàm số y = cos(3x)
- Tính đạo hàm của hàm số y = (x2 + 1)/(x - 1)
5. Kết luận
Việc nắm vững các quy tắc tính đạo hàm là vô cùng quan trọng trong quá trình học toán. Hãy luyện tập thường xuyên để có thể áp dụng các quy tắc này một cách linh hoạt và hiệu quả. Chúc bạn học tốt!
