Bài 4 trang 49 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Bài 4 trang 49 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết Bài 4 trang 49 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo. Bài học này thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào việc vận dụng kiến thức đã học để giải quyết các bài toán thực tế.
montoan.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập. Hãy cùng chúng tôi khám phá lời giải ngay dưới đây!
Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
Đề bài
Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a) \(y = 2{x^4} - 5{x^2} + 3\);
b) \(y = x{e^x}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tính \(y'\), sau đó tính y''.
Lời giải chi tiết
a) \(y' = 2.4{{\rm{x}}^3} - 5.2{\rm{x}} + 0 = 8{{\rm{x}}^3} - 10{\rm{x}} \Rightarrow y'' = 8.3{{\rm{x}}^2} - 10.1 = 24{{\rm{x}}^2} - 10\).
b) \(y' = {\left( x \right)^\prime }.{e^x} + x.{\left( {{e^x}} \right)^\prime } = {e^x} + x{e^x} = {e^x}\left( {x + 1} \right)\)
\( \Rightarrow y'' = {\left( {{e^x}} \right)^\prime }.\left( {x + 1} \right) + {e^x}.{\left( {x + 1} \right)^\prime } = {e^x}\left( {x + 1} \right) + {e^x} = {e^x}\left( {x + 2} \right)\)
Bài 4 trang 49 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo: Giải chi tiết và hướng dẫn
Bài 4 trang 49 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng trong chương trình học, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán liên quan đến tốc độ thay đổi của hàm số.
Nội dung bài tập
Bài tập yêu cầu học sinh tính đạo hàm của hàm số tại một điểm cho trước, và sử dụng đạo hàm để tìm hiểu về tính chất của hàm số. Cụ thể, bài tập có thể yêu cầu:
- Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 tại x = 2.
- Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x^2 + 1 tại điểm có hoành độ x = -1.
- Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1.
Phương pháp giải
Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
- Định nghĩa đạo hàm: Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x = a được định nghĩa là giới hạn của tỷ số giữa độ biến thiên của hàm số và độ biến thiên của đối số khi độ biến thiên của đối số tiến tới 0.
- Các quy tắc tính đạo hàm: Quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số. Quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp.
- Đạo hàm của các hàm số cơ bản: Đạo hàm của hàm số lũy thừa, hàm số lượng giác, hàm số mũ, hàm số logarit.
Sau khi nắm vững các kiến thức trên, học sinh có thể áp dụng các quy tắc và công thức để tính đạo hàm của hàm số và giải quyết các bài toán liên quan.
Giải chi tiết Bài 4 trang 49 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
a) Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 tại x = 2.
Ta có: f'(x) = 3x^2 - 6x + 2
Thay x = 2 vào f'(x), ta được: f'(2) = 3(2)^2 - 6(2) + 2 = 12 - 12 + 2 = 2
Vậy, đạo hàm của hàm số f(x) tại x = 2 là 2.
b) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x^2 + 1 tại điểm có hoành độ x = -1.
Ta có: y' = 2x
Thay x = -1 vào y', ta được: y'(-1) = 2(-1) = -2
Vậy, hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x^2 + 1 tại điểm có hoành độ x = -1 là -2.
c) Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1.
Ta có: y' = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3)
Xét dấu y':
| x | -∞ | 1 | 3 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| x - 1 | - | + | + | + |
| x - 3 | - | - | + | + |
| y' | + | - | + | + |
Từ bảng xét dấu, ta thấy:
- Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 1) và (3; +∞).
- Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 3).
Hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh đã hiểu rõ cách giải Bài 4 trang 49 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt!
