Bài 3. Cấp số nhân

Bài 3. Cấp số nhân - SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo: Tổng quan và hướng dẫn chi tiết

Cấp số nhân là một trong những khái niệm quan trọng trong chương trình Toán 11, đặc biệt là trong phần Dãy số. Cấp số nhân xuất hiện thường xuyên trong các bài toán thực tế và là nền tảng cho nhiều kiến thức toán học nâng cao hơn. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan về cấp số nhân, bao gồm định nghĩa, các tính chất, công thức và phương pháp giải bài tập liên quan.

1. Định nghĩa cấp số nhân

Một dãy số được gọi là cấp số nhân nếu mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai được tạo thành bằng cách nhân số hạng đứng trước nó với một số không đổi, gọi là công bội (thường ký hiệu là q). Công thức tổng quát của cấp số nhân là:

• u_n = u₁ * q^n-1

Trong đó:

• u_n là số hạng thứ n của cấp số nhân
• u₁ là số hạng đầu tiên của cấp số nhân
• q là công bội của cấp số nhân

2. Các tính chất của cấp số nhân

Cấp số nhân có một số tính chất quan trọng sau:

• Nếu q = 1, cấp số nhân trở thành một dãy số không đổi.
• Nếu q = -1, cấp số nhân là một dãy số thay đổi dấu.
• Nếu q > 1, cấp số nhân là một dãy số tăng.
• Nếu 0 < q < 1, cấp số nhân là một dãy số giảm.

3. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân

Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân được tính theo công thức:

• S_n = u₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q) (khi q ≠ 1)
• S_n = n * u₁ (khi q = 1)

4. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân có số hạng đầu tiên u₁ = 2 và công bội q = 3. Tính số hạng thứ 5 và tổng của 5 số hạng đầu tiên.

Giải:

• Số hạng thứ 5: u₅ = u₁ * q⁴ = 2 * 3⁴ = 162
• Tổng của 5 số hạng đầu tiên: S₅ = u₁ * (1 - q⁵) / (1 - q) = 2 * (1 - 3⁵) / (1 - 3) = 2 * (1 - 243) / (-2) = 242

Ví dụ 2: Tìm số hạng thứ 10 của cấp số nhân biết số hạng đầu là 5 và công bội là 2.

Giải:

• u₁₀ = u₁ * q⁹ = 5 * 2⁹ = 5 * 512 = 2560

5. Ứng dụng của cấp số nhân

Cấp số nhân có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:

• Tính lãi kép trong ngân hàng.
• Tính sự tăng trưởng dân số.
• Tính sự phân rã của các chất phóng xạ.

6. Luyện tập thêm

Để nắm vững kiến thức về cấp số nhân, bạn nên luyện tập thêm các bài tập khác nhau. Bạn có thể tìm thấy các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc trên các trang web học toán online như montoan.com.vn.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về cấp số nhân. Chúc bạn học tập tốt!