THCS
THCS
Bài 7 trang 61 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương trình học Toán 11 Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc ôn tập chương 1: Hàm số và đồ thị. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về các loại hàm số, tính đơn điệu, cực trị và ứng dụng của đạo hàm để giải quyết các bài toán cụ thể.
Montoan.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 7 trang 61, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán hiệu quả.
Giả sử một thành phố có dân số năm 2022 là khoảng 2,1 triệu người và tốc độ gia tăng dân số trung bình mỗi năm là 0,75%.
Đề bài
Giả sử một thành phố có dân số năm 2022 là khoảng 2,1 triệu người và tốc độ gia tăng dân số trung bình mỗi năm là 0,75%.
a) Dự đoán dân số của thành phố đó vào năm 2032.
b) Nếu tốc độ gia tăng dân số vẫn giữ nguyên như trên thì ước tính vào năm nào dân số của thành phố đó sẽ tăng gấp đôi so với năm 2022.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Biến đổi, đưa \({u_{n + 1}} = {u_n}.q\), khi đó dãy số là cấp số nhân có công bội \(q\).
‒ Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\) thì số hạng tổng quát là: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},n \ge 2\).
Lời giải chi tiết
a) Giả sử dân số của thành phố đó từ năm 2022 là dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 2,1\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}{u_1} = 2,1\\{u_2} = {u_1} + {u_1}.\frac{{0,75}}{{100}} = {u_1}.\left( {1 + \frac{{0,75}}{{100}}} \right)\\{u_3} = {u_2} + {u_2}.\frac{{0,75}}{{100}} = {u_2}\left( {1 + \frac{{0,75}}{{100}}} \right)\\{u_4} = {u_3} + {u_3}.\frac{{0,75}}{{100}} = {u_3}\left( {1 + \frac{{0,75}}{{100}}} \right)\\ \vdots \\{u_n} = {u_{n - 1}} + {u_{n - 1}}.\frac{{0,75}}{{100}} = {u_{n - 1}}\left( {1 + \frac{{0,75}}{{100}}} \right)\end{array}\)
Vậy dân số của thành phố đó từ năm 2022 tạo thành cấp số nhân với số hạng đầu \({u_1} = 2,1\) và công bội \(q = 1 + \frac{{0,75}}{{100}}\).
Dân số của thành phố đó vào năm 2032 là: \({u_{11}} = {u_1}.{q^{10}} = 2,1.{\left( {1 + \frac{{0,75}}{{100}}} \right)^{10}} \approx 2,26\) (triệu người).
b) Giả sử sau \(n - 1\) năm thì dân số thành phố đó tăng gấp đôi. Khi đó ta có:
\({u_n} = 2{u_1} \Leftrightarrow {u_1}.{q^{n - 1}} = 2{u_1} \Leftrightarrow {q^{n - 1}} = 2 \Leftrightarrow {\left( {1 + \frac{{0,75}}{{100}}} \right)^{n - 1}} = 2 \Leftrightarrow n \approx 93,77 \Rightarrow n = 94\)
Vậy sau 93 năm thì dân số thành phố đó tăng gấp đôi.
Vậy ước tính vào năm 2115 dân số của thành phố đó sẽ tăng gấp đôi so với năm 2022.
Bài 7 trang 61 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số và ứng dụng của đạo hàm. Dưới đây là giải chi tiết bài tập này:
Bài tập yêu cầu học sinh xét hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2 và thực hiện các yêu cầu sau:
Hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2 là một hàm đa thức, do đó tập xác định của hàm số là tập số thực, tức là D = ℝ.
Để tính đạo hàm f'(x), ta sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm đa thức:
f'(x) = 3x2 - 6x
Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình f'(x) = 0:
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2.
Để xác định loại cực trị, ta xét dấu của f'(x) trên các khoảng xác định:
Vậy, hàm số đạt cực đại tại x = 0, với giá trị f(0) = 2 và đạt cực tiểu tại x = 2, với giá trị f(2) = -2.
Dựa vào dấu của f'(x) và các điểm cực trị, ta có thể khảo sát sự biến thiên của hàm số:
Để vẽ đồ thị hàm số, ta cần xác định các điểm đặc biệt như:
Dựa vào các điểm này và sự biến thiên của hàm số, ta có thể vẽ được đồ thị hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2.
Khi giải Bài 7 trang 61 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo, học sinh cần lưu ý:
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn trên, các em học sinh có thể tự tin giải quyết Bài 7 trang 61 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo một cách hiệu quả. Chúc các em học tốt!
