Bài 4 trang 51 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Hàm số \(y = \frac{{x + 3}}{{x + 2}}\) có đạo hàm là

A. \(y' = \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).

B. \(y' = \frac{5}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).

C. \(y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).

D. \(y' = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 4 trang 51 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo 1

Sử dụng công thức tính đạo hàm của thương.

Lời giải chi tiết

\(y' = \frac{{{{\left( {x + 3} \right)}^\prime }\left( {x + 2} \right) - \left( {x + 3} \right){{\left( {x + 2} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{1.\left( {x + 2} \right) - \left( {x + 3} \right).1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{x + 2 - x - 3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)

Chọn C.

Bài 4 trang 51 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 4 trang 51 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:

Nội dung bài tập

Bài 4 yêu cầu học sinh giải các bài toán liên quan đến việc tìm đạo hàm của hàm số, xét tính đơn điệu của hàm số và tìm cực trị của hàm số. Cụ thể, bài tập có thể bao gồm các dạng sau:

Tìm đạo hàm của hàm số y = f(x)
Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
Tìm cực đại, cực tiểu của hàm số

Lời giải chi tiết

Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:

Các công thức tính đạo hàm cơ bản
Quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số
Điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến
Điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu

Ví dụ, xét hàm số y = x³ - 3x² + 2. Để tìm đạo hàm của hàm số này, ta sử dụng quy tắc tính đạo hàm của tổng và đạo hàm của lũy thừa:

y' = 3x² - 6x

Để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số, ta xét dấu của đạo hàm y'. Ta có:

y' = 0 ⇔ 3x² - 6x = 0 ⇔ x(x - 2) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2

Ta lập bảng xét dấu y':

x	-∞	0	2	+∞
y'	+	-	+
y	Đồng biến	Nghịch biến	Đồng biến

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Để tìm cực đại, cực tiểu của hàm số, ta xét dấu của đạo hàm y' tại các điểm x = 0 và x = 2. Ta có:

Tại x = 0, y' đổi dấu từ dương sang âm, nên hàm số có cực đại tại x = 0. Giá trị cực đại là y(0) = 2.
Tại x = 2, y' đổi dấu từ âm sang dương, nên hàm số có cực tiểu tại x = 2. Giá trị cực tiểu là y(2) = -2.

Lưu ý khi giải bài tập

Khi giải bài tập về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm, học sinh cần lưu ý những điều sau:

Nắm vững các công thức tính đạo hàm cơ bản và quy tắc tính đạo hàm.
Hiểu rõ điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến và có cực đại, cực tiểu.
Thực hành giải nhiều bài tập để rèn luyện kỹ năng và làm quen với các dạng bài tập khác nhau.
Kiểm tra lại kết quả sau khi giải bài tập để đảm bảo tính chính xác.

Tổng kết

Bài 4 trang 51 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc học tập và giải quyết các bài toán tương tự.