Bài 1. Biến cố giao và quy tắc nhân xác suất

I. Giới thiệu chung về biến cố và xác suất

Trong lý thuyết xác suất, một biến cố là một sự kiện có thể xảy ra hoặc không xảy ra trong một thí nghiệm ngẫu nhiên. Xác suất của một biến cố là một số đo lường khả năng xảy ra của biến cố đó. Xác suất được biểu diễn bằng một số thực nằm trong khoảng từ 0 đến 1, trong đó 0 biểu thị sự không thể xảy ra và 1 biểu thị sự chắc chắn xảy ra.

II. Biến cố giao

Biến cố giao của hai biến cố A và B là biến cố mà cả A và B đều xảy ra. Ký hiệu biến cố giao là A ∩ B. Để hiểu rõ hơn, ta có thể xem xét ví dụ sau:

Ví dụ: Tung một con xúc xắc. Gọi A là biến cố “xuất hiện mặt số chẵn” và B là biến cố “xuất hiện mặt số lớn hơn 3”. Khi đó, A ∩ B là biến cố “xuất hiện mặt số chẵn và lớn hơn 3”, tức là xuất hiện mặt số 4 hoặc 6.

III. Quy tắc nhân xác suất

Quy tắc nhân xác suất cho biết cách tính xác suất của biến cố giao của hai biến cố. Quy tắc này có hai trường hợp:

Trường hợp 1: Hai biến cố độc lập

Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B, và ngược lại. Khi đó, xác suất của biến cố giao A ∩ B được tính bằng:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

Ví dụ: Tung hai đồng xu. Gọi A là biến cố “đồng xu thứ nhất xuất hiện mặt ngửa” và B là biến cố “đồng xu thứ hai xuất hiện mặt sấp”. Hai biến cố A và B là độc lập. Khi đó, P(A ∩ B) = P(A) * P(B) = (1/2) * (1/2) = 1/4.

Trường hợp 2: Hai biến cố phụ thuộc

Hai biến cố A và B được gọi là phụ thuộc nếu việc xảy ra của biến cố A ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B, và ngược lại. Khi đó, xác suất của biến cố giao A ∩ B được tính bằng:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A)

Trong đó, P(B|A) là xác suất có điều kiện của biến cố B khi biết biến cố A đã xảy ra.

Ví dụ: Rút hai lá bài từ một bộ bài 52 lá. Gọi A là biến cố “lá bài thứ nhất rút được là át” và B là biến cố “lá bài thứ hai rút được là át”. Hai biến cố A và B là phụ thuộc. Khi đó, P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) = (4/52) * (3/51) = 1/221.

IV. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức về biến cố giao và quy tắc nhân xác suất, chúng ta hãy cùng giải một số bài tập sau:

Bài 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đỏ.
Bài 2: Tung hai con xúc xắc. Tính xác suất để tổng số chấm trên hai con xúc xắc bằng 7.
Bài 3: Một người bắn súng. Xác suất bắn trúng mục tiêu của người đó là 0.8. Người đó bắn 3 phát. Tính xác suất để người đó bắn trúng mục tiêu cả 3 phát.

V. Kết luận

Bài học hôm nay đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản về biến cố giao và quy tắc nhân xác suất. Việc nắm vững những kiến thức này là rất quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến xác suất trong chương trình Toán 11 và các chương trình học cao hơn. Chúc các em học tập tốt!