Bài 3 trang 19 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Tính các giá trị lượng giác của góc α, nếu:

a) \(\sin \alpha = \frac{5}{{13}}\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \)

b) \(\cos \alpha = \frac{2}{5}\) và \(0 < \alpha < 90^\circ \)

c) \(\tan \alpha = \sqrt 3 \) và \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\)

d) \(\cot \alpha = -\frac{1}{2}\) và \(270^\circ < \alpha < 360^\circ \)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\left( {\frac{5}{{13}}} \right)^2} + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{{12}}{{13}}\)

Do \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \Rightarrow \cos \alpha = \frac{-{12}}{{13}}\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{-5}{{12}}\\\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{-{12}}{5}\end{array} \right.\)

b) Ta có: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\left( {\frac{2}{5}} \right)^2} + {\sin ^2}\alpha = 1 \Rightarrow \sin \alpha = \pm \frac{{\sqrt {21} }}{5}\)

Do \(0 < \alpha < 90^\circ \Rightarrow \sin \alpha = \frac{{\sqrt {21} }}{5}\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\sqrt {21} }}{2}\\\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{2\sqrt {21} }}{{21}}\end{array} \right.\)

c) Ta có: \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} \Rightarrow 1 + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{1}{2}\)

Do \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{-1}{2}\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cot \alpha .\tan \alpha = 1\\\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cot \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\\sin \alpha = \frac{{-\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\)

d) Ta có: \(1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} \Rightarrow 1 + {\left( -{\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} \Rightarrow \sin \alpha = \pm \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\)

Do \(270^\circ < \alpha < 360^\circ \Rightarrow \sin \alpha = \frac{{-2\sqrt 5 }}{5}.\)

Ta có: \(\cot \alpha = -\frac{1}{2} \Rightarrow \tan \alpha = \frac{1}{{\cot \alpha }} = -2\)

Lại có:

\(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} \Leftrightarrow 1 + 4 = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)\( \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{5} \Leftrightarrow \cos \alpha = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{5}\)

Do \({270^o} < \alpha < {360^o} \Rightarrow \cos \alpha > 0 \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\)