Bài 3. Hai mặt phẳng vuông góc

1. Khái niệm hai mặt phẳng vuông góc

Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa chúng bằng 90°. Để xác định góc giữa hai mặt phẳng, ta thường sử dụng đường thẳng vuông góc với cả hai mặt phẳng. Nếu có một đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) và một đường thẳng d' vuông góc với mặt phẳng (Q), thì góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng d và d'.

Định nghĩa: Hai mặt phẳng (P) và (Q) được gọi là vuông góc với nhau, ký hiệu (P) ⊥ (Q), nếu góc giữa chúng bằng 90°.

2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Có một số điều kiện để xác định hai mặt phẳng vuông góc:

Điều kiện 1: Mặt phẳng (P) chứa một đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (Q).
Điều kiện 2: Mặt phẳng (P) và (Q) có một giao tuyến a, và trên (P) có một đường thẳng b vuông góc với a, đồng thời trên (Q) có một đường thẳng c vuông góc với a. Khi đó, (P) ⊥ (Q) khi và chỉ khi b ⊥ c.

3. Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc

Khi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, ta có những tính chất sau:

Nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) thì nó vuông góc với mặt phẳng (Q).
Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và điểm M không nằm trong (P) hoặc (Q) thì từ M có thể hạ đường vuông góc chung đến cả hai mặt phẳng.

4. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Biết SO ⊥ (ABCD). Chứng minh rằng (SAD) ⊥ (SBC).

Giải:

Vì SO ⊥ (ABCD) nên SO ⊥ AD và SO ⊥ BC.
Trong mặt phẳng (SAD), AD ⊥ SO và AD ⊥ AO, suy ra AD ⊥ (SO).
Trong mặt phẳng (SBC), BC ⊥ SO và BC ⊥ BO, suy ra BC ⊥ (SO).
Do đó, (SAD) ⊥ (SBC).

Ví dụ 2: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Trên (P) có điểm A và trên (Q) có điểm B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA ⊥ MB.

Giải:

Gọi I là hình chiếu vuông góc của A lên (Q). Khi đó, AI ⊥ (Q). Vì (P) ⊥ (Q) nên AI ⊥ (P). Do đó, AI là đường vuông góc chung của (P) và (Q).

Xét tam giác MAB, có MA ⊥ MB. Suy ra M nằm trên đường tròn đường kính AB. Gọi O là trung điểm của AB. Khi đó, M thuộc đường tròn (O, AB/2).

Tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện là giao của đường tròn (O, AB/2) và mặt phẳng vuông góc với AB tại O.

5. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về hai mặt phẳng vuông góc, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Hãy tìm các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc trên các trang web học toán online như montoan.com.vn để luyện tập và củng cố kiến thức.

Việc hiểu rõ các định nghĩa, điều kiện và tính chất của hai mặt phẳng vuông góc là rất quan trọng để giải các bài toán hình học không gian. Chúc bạn học tốt!