Bài 3 trang 50 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Bài 3 trang 50 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết Bài 3 trang 50 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo. Bài học này thuộc chương trình đại số lớp 11, tập trung vào các kiến thức về hàm số và đồ thị.
Montoan.com.vn cung cấp lời giải bài tập Toán 11 đầy đủ, chính xác, giúp các em hiểu rõ bản chất của bài học và tự tin làm bài tập.
Xét tính tăng, giảm của dãy số \(\left( {{y_n}} \right)\) với \({y_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n \).
Đề bài
Xét tính tăng, giảm của dãy số \(\left( {{y_n}} \right)\) với \({y_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n \).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1: Tìm \({y_{n + 1}}\).
Bước 2: Xét hiệu \({y_{n + 1}} - {y_n}\) hoặc xét thương \(\frac{{{y_{n + 1}}}}{{{y_n}}}\) nếu các số hạng của dãy số \(\left( {{y_n}} \right)\) là số dương.
Bước 3: Kết luận:
– Nếu \({y_{n + 1}} - {y_n} > 0\) hoặc \(\frac{{{y_{n + 1}}}}{{{y_n}}} > 1\) thì \({y_{n + 1}} > {y_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), vậy dãy số \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số tăng.
– Nếu \({y_{n + 1}} - {y_n} < 0\) hoặc \(\frac{{{y_{n + 1}}}}{{{y_n}}} < 1\) thì \({y_{n + 1}} < {y_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), vậy dãy số \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số giảm.
Lời giải chi tiết
Cách 1:
Ta có: \({y_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n = \frac{{\left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = \frac{{\left( {n + 1} \right) - n}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = \frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\)
\( \Rightarrow {y_{n + 1}} = \frac{1}{{\sqrt {\left( {n + 1} \right) + 1} - \sqrt {n + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }}\)
Xét hiệu:
\(\begin{array}{l}{y_{n + 1}} - {y_n} = \frac{1}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }} - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = \frac{{\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right) - \left( {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \right)}}{{\left( {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}}\\ = \frac{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n - \sqrt {n + 2} - \sqrt {n + 1} }}{{\left( {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}} = \frac{{\sqrt n - \sqrt {n + 2} }}{{\left( {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}}\end{array}\)
\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}0 < n < n + 2 \Leftrightarrow \sqrt n < \sqrt {n + 2} \Leftrightarrow \sqrt n - \sqrt {n + 2} < 0\\\sqrt {n + 2} > 0,\sqrt {n + 1} > 0,\sqrt n > 0 \Leftrightarrow \left( {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right) > 0\end{array} \right\}\\ \Rightarrow \frac{{\sqrt n - \sqrt {n + 2} }}{{\left( {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}} < 0\end{array}\)
Vậy \({y_{n + 1}} - {y_n} < 0 \Leftrightarrow {y_{n + 1}} < {y_n}\). Vậy dãy số \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số giảm.
Cách 2:
Ta có: \({y_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n = \frac{{\left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = \frac{{\left( {n + 1} \right) - n}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = \frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\)
\( \Rightarrow {y_{n + 1}} = \frac{1}{{\sqrt {\left( {n + 1} \right) + 1} - \sqrt {n + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }}\)
\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:
\(\begin{array}{l}0 < n < n + 2 \Leftrightarrow \sqrt n < \sqrt {n + 2} \Leftrightarrow \sqrt {n + 1} + \sqrt n < \sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} \\ \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} > \frac{1}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }} \Leftrightarrow {y_n} > {y_{n + 1}}\end{array}\)
Vậy dãy số \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số giảm.
Bài 3 trang 50 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Giải chi tiết và hướng dẫn
Bài 3 trang 50 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số bậc hai để xác định các yếu tố của parabol và vẽ đồ thị. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản như:
- Hàm số bậc hai: Dạng tổng quát y = ax2 + bx + c (a ≠ 0).
- Đỉnh của parabol: I(-b/2a, -Δ/4a) với Δ = b2 - 4ac.
- Trục đối xứng của parabol: Đường thẳng x = -b/2a.
- Điểm thuộc parabol: Thay x vào hàm số để tìm y tương ứng.
Phân tích bài toán và phương pháp giải
Bài 3 thường bao gồm các yêu cầu sau:
- Xác định hệ số a, b, c của hàm số.
- Tính đỉnh của parabol.
- Xác định trục đối xứng của parabol.
- Vẽ đồ thị hàm số.
Để giải bài toán này, chúng ta thực hiện theo các bước sau:
- Bước 1: Xác định hệ số a, b, c từ phương trình hàm số.
- Bước 2: Tính Δ = b2 - 4ac.
- Bước 3: Nếu Δ > 0, parabol cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt. Nếu Δ = 0, parabol tiếp xúc với trục hoành. Nếu Δ < 0, parabol không cắt trục hoành.
- Bước 4: Tính tọa độ đỉnh của parabol: I(-b/2a, -Δ/4a).
- Bước 5: Xác định trục đối xứng của parabol: x = -b/2a.
- Bước 6: Chọn một vài điểm thuộc parabol (ví dụ: điểm có x = 0, điểm có y = 0) để vẽ đồ thị.
Ví dụ minh họa
Giả sử hàm số cho là y = x2 - 4x + 3.
Bước 1: a = 1, b = -4, c = 3.
Bước 2: Δ = (-4)2 - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4.
Bước 3: Δ > 0, parabol cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.
Bước 4: Tọa độ đỉnh: I(-(-4)/(2*1), -4/(4*1)) = I(2, -1).
Bước 5: Trục đối xứng: x = 2.
Bước 6: Điểm có x = 0: y = 3. Điểm có y = 0: x2 - 4x + 3 = 0 => x = 1 hoặc x = 3.
Dựa vào các thông tin trên, chúng ta có thể vẽ được đồ thị hàm số y = x2 - 4x + 3.
Lưu ý quan trọng
Khi vẽ đồ thị hàm số, cần chú ý đến các yếu tố sau:
- Hệ số a quyết định độ mở của parabol (a > 0: mở lên, a < 0: mở xuống).
- Đỉnh của parabol là điểm quan trọng nhất trên đồ thị.
- Trục đối xứng giúp xác định vị trí của đỉnh và tính đối xứng của parabol.
Bài tập luyện tập
Để củng cố kiến thức về bài 3 trang 50 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo, các em có thể tự giải các bài tập sau:
- Bài 4 trang 50 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo.
- Bài 5 trang 50 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo.
- Các bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 11.
Montoan.com.vn hy vọng rằng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể này, các em sẽ hiểu rõ hơn về bài 3 trang 50 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo và tự tin hơn trong việc học tập môn Toán.
