Bài 5 trang 50 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Bài 5 trang 50 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Giải pháp học tập hiệu quả
Chào mừng bạn đến với bài giải Bài 5 trang 50 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo trên montoan.com.vn. Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những tài liệu học tập chất lượng cao, hỗ trợ bạn trong quá trình chinh phục môn Toán.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}\). Chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng và bị chặn.
Đề bài
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}\).
Chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng và bị chặn.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
• Chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng:
Bước 1: Tìm \({u_{n + 1}}\).
Bước 2: Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\).
Bước 3: Chứng minh \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), từ đó kết luận dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
• Chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn: Sử dụng tính chất của bất đẳng thức.
Lời giải chi tiết
• Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} = \frac{{2n + 2 - 1}}{{n + 1 + 1}} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}\)
Xét hiệu:
\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} - \frac{{2n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{\left( {2n + 1} \right)\left( {n + 1} \right) - \left( {2n - 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {2{n^2} + n + 2n + 1} \right) - \left( {2{n^2} - n + 4n - 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{2{n^2} + n + 2n + 1 - 2{n^2} + n - 4n + 2}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{3}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
Vậy \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\). Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
• Ta có: \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 3}}{{n + 1}} = 2 - \frac{3}{{n + 1}}\)
\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:
\(n + 1 > 0 \Leftrightarrow \frac{3}{{n + 1}} > 0 \Leftrightarrow 2 - \frac{3}{{n + 1}} < 2 \Leftrightarrow {u_n} < 2\). Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên.
\(n \ge 1 \Leftrightarrow n + 1 \ge 1 + 1 \Leftrightarrow n + 1 \ge 2 \Leftrightarrow \frac{3}{{n + 1}} \le \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2 - \frac{3}{{n + 1}} \ge 2 - \frac{3}{2} \Leftrightarrow {u_n} \ge \frac{1}{2}\)
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới.
Ta thấy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.
Bài 5 trang 50 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Giải chi tiết và hướng dẫn
Bài 5 trang 50 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về hàm số và đồ thị để giải quyết các bài toán thực tế. Bài tập này yêu cầu học sinh phải hiểu rõ các khái niệm về tập xác định, tập giá trị, tính đơn điệu và cực trị của hàm số.
Nội dung bài tập
Bài 5 trang 50 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo thường bao gồm các dạng bài tập sau:
- Xác định tập xác định của hàm số.
- Tìm tập giá trị của hàm số.
- Xét tính đơn điệu của hàm số.
- Tìm cực trị của hàm số.
- Vẽ đồ thị của hàm số.
Hướng dẫn giải chi tiết
Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, bạn cần thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Phân tích đề bài và xác định yêu cầu của bài toán.
- Bước 2: Áp dụng các kiến thức đã học về hàm số và đồ thị để giải quyết bài toán.
- Bước 3: Kiểm tra lại kết quả và đảm bảo tính chính xác.
Ví dụ minh họa
Bài toán: Tìm tập xác định của hàm số y = √(x - 2).
Giải:
Hàm số y = √(x - 2) xác định khi và chỉ khi x - 2 ≥ 0, tức là x ≥ 2. Vậy tập xác định của hàm số là D = [2, +∞).
Các dạng bài tập tương tự
Ngoài bài 5 trang 50, bạn có thể tham khảo các bài tập tương tự trong SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo để rèn luyện kỹ năng giải toán. Một số bài tập gợi ý:
- Bài 1 trang 48
- Bài 2 trang 49
- Bài 3 trang 50
Mẹo giải nhanh
Để giải nhanh các bài tập về hàm số và đồ thị, bạn nên:
- Nắm vững các định nghĩa và tính chất của hàm số.
- Sử dụng các công cụ hỗ trợ như máy tính bỏ túi hoặc phần mềm vẽ đồ thị.
- Luyện tập thường xuyên để làm quen với các dạng bài tập khác nhau.
Ứng dụng thực tế
Kiến thức về hàm số và đồ thị có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của đời sống, như:
- Kinh tế: Phân tích cung cầu, dự báo thị trường.
- Vật lý: Mô tả các hiện tượng vật lý, tính toán các đại lượng.
- Kỹ thuật: Thiết kế các hệ thống, điều khiển các quá trình.
Tổng kết
Bài 5 trang 50 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp bạn củng cố kiến thức về hàm số và đồ thị. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết và các ví dụ minh họa trên, bạn sẽ tự tin giải quyết bài tập này và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
| Khái niệm | Giải thích |
|---|---|
| Tập xác định | Tập hợp tất cả các giá trị của x sao cho hàm số có nghĩa. |
| Tập giá trị | Tập hợp tất cả các giá trị của y mà hàm số có thể nhận được. |
| Tính đơn điệu | Tính chất của hàm số khi x tăng hoặc giảm. |
