Bài 4. Khoảng cách trong không gian

Bài 4 trong chương VIII của sách Toán 11 tập 2, Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc tính toán khoảng cách giữa các đối tượng hình học trong không gian ba chiều. Đây là một phần quan trọng của hình học không gian, có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Để hiểu rõ về khoảng cách trong không gian, chúng ta cần nắm vững các khái niệm và công thức sau:

• Khoảng cách giữa hai điểm: Cho hai điểm A(x_A, y_A, z_A) và B(x_B, y_B, z_B) trong không gian, khoảng cách AB được tính theo công thức: AB = √((x_B - x_A)² + (y_B - y_A)² + (z_B - z_A)²)
• Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho điểm M(x₀, y₀, z₀) và đường thẳng Δ có phương trình: { x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct }. Khoảng cách d từ M đến Δ được tính theo công thức: d = |[a(x₀ - x₁) + b(y₀ - y₁) + c(z₀ - z₁)]| / √(a² + b² + c²), với (x₁, y₁, z₁) là một điểm thuộc Δ.
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: Cho hai đường thẳng song song Δ₁ và Δ₂. Chọn một điểm M thuộc Δ₁ và tính khoảng cách d từ M đến Δ₂. d chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng.
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: Đây là phần phức tạp nhất. Ta thường tìm mặt phẳng chứa một đường thẳng và vuông góc với đường thẳng còn lại, sau đó tính khoảng cách từ đường thẳng còn lại đến mặt phẳng đó.
• Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Cho điểm M(x₀, y₀, z₀) và mặt phẳng (P) có phương trình: Ax + By + Cz + D = 0. Khoảng cách d từ M đến (P) được tính theo công thức: d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)

II. Phương pháp giải bài tập

Để giải các bài tập về khoảng cách trong không gian, các em cần:

1. Xác định đúng các đối tượng hình học: Điểm, đường thẳng, mặt phẳng.
2. Chọn công thức phù hợp: Dựa vào yêu cầu của bài toán, chọn công thức tính khoảng cách tương ứng.
3. Biến đổi và tính toán chính xác: Sử dụng các kiến thức về vector, phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng để biến đổi và tính toán một cách chính xác.
4. Kiểm tra lại kết quả: Đảm bảo kết quả tính toán hợp lý và phù hợp với điều kiện của bài toán.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính khoảng cách giữa hai điểm A(1, 2, 3) và B(4, 5, 6).

Giải:

AB = √((4 - 1)² + (5 - 2)² + (6 - 3)²) = √(3² + 3² + 3²) = √27 = 3√3

Ví dụ 2: Tính khoảng cách từ điểm M(0, 0, 0) đến đường thẳng Δ: x = 1 + t, y = 2 + t, z = 3 + t.

Giải:

Chọn điểm A(1, 2, 3) thuộc Δ. Vector AM = (1, 2, 3). Vector chỉ phương của Δ là a = (1, 1, 1). Khoảng cách d = |AM x a| / |a| = |(1, 1, 1) x (1, 1, 1)| / √(1² + 1² + 1²) = 0 / √3 = 0. (Trong trường hợp này, điểm M nằm trên đường thẳng Δ).

IV. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau:

• Bài 1: Tính khoảng cách giữa hai điểm C(-1, 0, 2) và D(3, -2, 4).
• Bài 2: Tính khoảng cách từ điểm E(2, 1, -1) đến mặt phẳng (P): 2x - y + 3z + 1 = 0.
• Bài 3: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song Δ₁: x = 1 + t, y = 2 + t, z = 3 + t và Δ₂: x = 4 + t, y = 5 + t, z = 6 + t.

Hy vọng với những kiến thức và phương pháp giải bài tập được trình bày trong bài viết này, các em sẽ tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán về khoảng cách trong không gian. Chúc các em học tập tốt!