Bài 1. Giới hạn của dãy số

Bài 1 trong chương 3 của sách Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 giới thiệu khái niệm về giới hạn của dãy số. Đây là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong giải tích, là nền tảng cho việc nghiên cứu về giới hạn của hàm số và đạo hàm.

1. Định nghĩa giới hạn của dãy số

Một dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn L nếu với mọi số dương ε (epsilon) nhỏ tùy ý, tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n > N, ta có |u_n - L| < ε. Ký hiệu: lim_n→∞ u_n = L.

Hiểu một cách đơn giản, dãy số (u_n) hội tụ về L nếu các số hạng của dãy số càng ngày càng gần L khi n càng lớn.

2. Các tính chất của giới hạn dãy số

Tính duy nhất: Nếu dãy số (u_n) có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
Giới hạn của tổng: lim_n→∞ (u_n + v_n) = lim_n→∞ u_n + lim_n→∞ v_n (nếu cả hai dãy số đều có giới hạn).
Giới hạn của tích: lim_n→∞ (u_n * v_n) = lim_n→∞ u_n * lim_n→∞ v_n (nếu cả hai dãy số đều có giới hạn).
Giới hạn của thương: lim_n→∞ (u_n / v_n) = (lim_n→∞ u_n) / (lim_n→∞ v_n) (nếu cả hai dãy số đều có giới hạn và lim_n→∞ v_n ≠ 0).

3. Các dạng giới hạn quen thuộc

Dãy số không đổi: Nếu u_n = a với mọi n, thì lim_n→∞ u_n = a.
Dãy số có dạng 1/n: lim_n→∞ (1/n) = 0.
Dãy số có dạng qⁿ:
- Nếu |q| < 1 thì lim_n→∞ qⁿ = 0.
- Nếu q = 1 thì lim_n→∞ qⁿ = 1.
- Nếu |q| > 1 thì lim_n→∞ qⁿ = ∞ (hoặc -∞ tùy thuộc vào dấu của q).

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm giới hạn của dãy số u_n = 2n + 1.

lim_n→∞ (2n + 1) = ∞. Dãy số này không có giới hạn hữu hạn.

Ví dụ 2: Tìm giới hạn của dãy số u_n = 1/n².

lim_n→∞ (1/n²) = 0. Dãy số này hội tụ về 0.

5. Bài tập áp dụng

Hãy tìm giới hạn của các dãy số sau:

u_n = 3n - 5
u_n = (2n + 1) / (n + 3)
u_n = (-1)ⁿ

6. Kết luận

Bài 1. Giới hạn của dãy số là một bước khởi đầu quan trọng trong việc học về giới hạn và đạo hàm. Việc nắm vững định nghĩa, các tính chất và các dạng giới hạn quen thuộc sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.