Bài 14 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Bài 14 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Bài 14 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương trình học Toán 11 Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc giải quyết các bài toán liên quan đến phép biến hóa affine. Bài học này giúp học sinh hiểu rõ hơn về các tính chất và ứng dụng của phép biến hóa affine trong hình học.
Tại montoan.com.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho từng bài tập trong Bài 14, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán tương tự.
Trong Hình 1, cây xanh AB nằm trên đường xích đạo được trồng vuông góc với mặt đất và có chiều cao 5 m.
Đề bài
Trong Hình 1, cây xanh AB nằm trên đường xích đạo được trồng vuông góc với mặt đất và có chiều cao 5 m. Bóng của cây là BE. Vào ngày xuân phân và hạ phân, điểm E di chuyển trên đường thẳng Bx. Góc thiên đỉnh \({\theta _t} = (AB,AE)\) phụ thuộc vào vị trí của Mặt trời và thay đổi theo thời gian trong ngày theo công thức \({\theta _s}(t) = (AB,AE) = \frac{\pi }{{12}}(t - 12)\;\) rad với t là thời gian trong ngày (theo đơn vị giờ, 6 < t < 18).
(Theo https://www.sciencedirect.com/topics/engineering/solar-hour-angle)
a) Viết hàm số biểu diễn toạ độ của điểm E trên trục Bx theo t.
b) Dựa vào đồ thị hàm số tang, hãy xác định các thời điểm mà tại đó bóng cây phủ qua vị trí tường rào N biết N nằm trên trục Bx với toạ độ là \({x_N} = - 4\;\) (m). Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a, Dựa vào hình vẽ để viết hàm số biểu diễn tọa độ điểm E.
b, Giải bất phương trình để tìm ra t.
Lời giải chi tiết
a) Xét tam giác ABE vuông tại B, có:
\(tan{\theta _s}(t) = \frac{{BE}}{{AB}} \Leftrightarrow BE = 5tan\left( {\frac{\pi }{{12}}(t - 12)} \right)\)
b) Đồ thị của hàm số \({\theta _s} = 5tan\left( {\frac{\pi }{{12}}(t - 12)} \right)\)
Dựa vào đồ thị hàm số để \({\theta _s} = 5tan\left( {\frac{\pi }{{12}}(t - 12)} \right) < - 4\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow tan\left( {\frac{\pi }{{12}}(t - 12)} \right) < - \frac{4}{5}\\ \Leftrightarrow \frac{\pi }{{12}}(t - 12) < - 0,67\\ \Leftrightarrow t < 9,4\end{array}\)
Kết hợp điều kiện \(6 < t < 18 \Rightarrow 6 < t < 9,4\).
Vậy thời điểm bóng cây phủ qua hàng rào là 6 < t < 9,4.
Bài 14 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Giải chi tiết và hướng dẫn
Bài 14 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một phần quan trọng trong chương trình học Toán 11, giúp học sinh làm quen và vận dụng kiến thức về phép biến hóa affine. Dưới đây là giải chi tiết từng bài tập, kèm theo hướng dẫn và các lưu ý quan trọng.
I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm
Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần nắm vững các khái niệm và tính chất cơ bản của phép biến hóa affine:
- Định nghĩa: Phép biến hóa affine là một phép biến đổi hình học bảo toàn tính thẳng hàng và tỉ lệ của các đoạn thẳng.
- Dạng tổng quát: Một phép biến hóa affine có dạng f(x) = Ax + b, trong đó A là ma trận affine và b là vector tịnh tiến.
- Tính chất: Phép biến hóa affine biến đường thẳng thành đường thẳng, biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn tỉ lệ của các đoạn thẳng trên cùng một đường thẳng.
II. Giải bài tập Bài 14 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Bài 1: Tìm ảnh của điểm M(2; -1) qua phép biến hóa affine f(x) = 2x + (1; 3)
Giải:
Để tìm ảnh của điểm M(2; -1) qua phép biến hóa affine f(x) = 2x + (1; 3), ta thực hiện các bước sau:
- Biểu diễn điểm M dưới dạng vector: M = (2; -1)
- Áp dụng phép biến hóa affine: f(M) = 2M + (1; 3) = 2(2; -1) + (1; 3) = (4; -2) + (1; 3) = (5; 1)
- Kết luận: Ảnh của điểm M qua phép biến hóa affine f(x) là M'(5; 1).
Bài 2: Cho tam giác ABC với A(0; 0), B(1; 1), C(2; 0). Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép biến hóa affine f(x) = x + (0; 1)
Giải:
Để tìm ảnh của tam giác ABC qua phép biến hóa affine f(x) = x + (0; 1), ta tìm ảnh của từng đỉnh A, B, C:
- A'(x'): A'(x') = A + (0; 1) = (0; 0) + (0; 1) = (0; 1)
- B'(x'): B'(x') = B + (0; 1) = (1; 1) + (0; 1) = (1; 2)
- C'(x'): C'(x') = C + (0; 1) = (2; 0) + (0; 1) = (2; 1)
Vậy, ảnh của tam giác ABC qua phép biến hóa affine f(x) là tam giác A'B'C' với A'(0; 1), B'(1; 2), C'(2; 1).
Bài 3: Chứng minh rằng phép biến hóa affine f(x) = Ax + b là một phép biến đổi tuyến tính nếu và chỉ nếu b = 0.
Giải:
Để chứng minh rằng phép biến hóa affine f(x) = Ax + b là một phép biến đổi tuyến tính nếu và chỉ nếu b = 0, ta cần chứng minh hai chiều:
- Chiều thuận: Nếu f(x) là một phép biến đổi tuyến tính, thì f(x + y) = f(x) + f(y) với mọi x, y. Do đó, A(x + y) + b = Ax + b + Ay + b, suy ra b = 0.
- Chiều nghịch: Nếu b = 0, thì f(x) = Ax. Khi đó, f(x + y) = A(x + y) = Ax + Ay = f(x) + f(y), suy ra f(x) là một phép biến đổi tuyến tính.
Vậy, phép biến hóa affine f(x) = Ax + b là một phép biến đổi tuyến tính nếu và chỉ nếu b = 0.
III. Luyện tập và củng cố kiến thức
Để củng cố kiến thức về phép biến hóa affine, các em có thể tự giải thêm các bài tập sau:
- Bài tập 1: Tìm ảnh của đường thẳng d: x + y = 1 qua phép biến hóa affine f(x) = 2x + (1; 0).
- Bài tập 2: Cho hai điểm A(1; 2) và B(3; 4). Tìm phương trình đường thẳng đi qua ảnh của A và B qua phép biến hóa affine f(x) = x - (1; 1).
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể trên đây, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về Bài 14 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo và tự tin giải quyết các bài tập tương tự. Chúc các em học tốt!
