Bài 5 trang 51 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Hàm số \(y = \frac{1}{{x + 1}}\) có đạo hàm cấp hai tại \(x = 1\) là

A. \(y''\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\).

B. \(y''\left( 1 \right) = - \frac{1}{4}\).

C. \(y''\left( 1 \right) = 4\).

D. \(y''\left( 1 \right) = \frac{1}{4}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 5 trang 51 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo 1

Tính \(y''\), sau đó thay \(x = 1\).

Lời giải chi tiết

\(y' = - \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow y'' = \frac{{{{\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \right]}^\prime }}}{{{{\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \right]}^2}}} = \frac{{2\left( {x + 1} \right){{\left( {x + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^4}}} = \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^4}}} = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}\\ \Rightarrow y''\left( 1 \right) = \frac{2}{{{{\left( {1 + 1} \right)}^3}}} = \frac{1}{4}\end{array}\)

Chọn D.

Bài 5 trang 51 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 5 trang 51 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng trong chương trình học, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán liên quan đến vận tốc, gia tốc và các đại lượng vật lý khác. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:

Phần 1: Tóm tắt lý thuyết cần thiết

Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần ôn lại một số kiến thức lý thuyết quan trọng:

Đạo hàm: Đạo hàm của một hàm số f(x) tại điểm x, ký hiệu là f'(x), biểu thị tốc độ thay đổi tức thời của hàm số tại điểm đó.
Đạo hàm của hàm số cơ bản: Nắm vững đạo hàm của các hàm số cơ bản như hàm số lũy thừa, hàm số lượng giác, hàm số mũ, hàm số logarit.
Các quy tắc tính đạo hàm: Quy tắc cộng, trừ, nhân, chia, quy tắc chuỗi.
Ứng dụng của đạo hàm: Tìm cực trị của hàm số, khảo sát hàm số, giải các bài toán liên quan đến vận tốc, gia tốc.

Phần 2: Giải chi tiết Bài 5 trang 51 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Để giải bài tập này, chúng ta cần phân tích đề bài, xác định các đại lượng đã cho và các đại lượng cần tìm. Sau đó, áp dụng các công thức và quy tắc đạo hàm để tìm ra lời giải.

Ví dụ: Giả sử đề bài yêu cầu tính vận tốc của một vật tại thời điểm t, biết hàm vị trí của vật là s(t) = 2t² + 3t + 1.

Lời giải:

Tính đạo hàm của hàm vị trí s(t) theo thời gian t: s'(t) = 4t + 3.
Vận tốc của vật tại thời điểm t là đạo hàm của hàm vị trí tại thời điểm đó: v(t) = s'(t) = 4t + 3.
Thay t = 2 (ví dụ) vào công thức vận tốc, ta được: v(2) = 4(2) + 3 = 11.

Vậy vận tốc của vật tại thời điểm t = 2 là 11.

Phần 3: Các dạng bài tập tương tự và phương pháp giải

Ngoài bài tập cụ thể trong SGK, còn rất nhiều bài tập tương tự yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải:

Bài tập về vận tốc và gia tốc: Tính vận tốc và gia tốc của một vật chuyển động theo một hàm vị trí cho trước.
Bài tập về tối ưu hóa: Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm số trong một khoảng cho trước.
Bài tập về khảo sát hàm số: Xác định các điểm cực trị, điểm uốn, khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của một hàm số.

Để giải các bài tập này, học sinh cần nắm vững lý thuyết, rèn luyện kỹ năng tính đạo hàm và áp dụng các công thức và quy tắc đạo hàm một cách linh hoạt.

Phần 4: Luyện tập thêm

Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập, học sinh nên luyện tập thêm với các bài tập khác trong SGK và các tài liệu tham khảo. montoan.com.vn cung cấp một kho bài tập phong phú, đa dạng, giúp các em rèn luyện và nâng cao khả năng giải toán.

Phần 5: Kết luận

Bài 5 trang 51 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng, giúp học sinh hiểu sâu hơn về ứng dụng của đạo hàm trong thực tế. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập trên đây, các em sẽ nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài tập tương tự.