THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 5 trang 77, 78 sách giáo khoa Toán 11 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức, hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, đầy đủ và trình bày một cách rõ ràng nhất để hỗ trợ tối đa cho quá trình học tập của các em.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}}\) có đồ thị như Hình 4.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}}\) có đồ thị như Hình 4.
a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:
Từ đồ thị và bảng trên, có nhận xét gì về giá trị \(f\left( x \right)\) khi \(x\) dần tới 1 phía bên phải?
b) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:
Từ đồ thị và bảng trên, có nhận xét gì về giá trị \(f\left( x \right)\) khi \(x\) dần tới 1 phía bên trái?
Phương pháp giải:
Để điền giá trị vào bảng, ta thay giá trị của \(x\) vào hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}}\).
Lời giải chi tiết:
a)
Giá trị \(f\left( x \right)\) trở nên rất lớn khi \(x\) dần tới 1 phía bên phải.
b)
Giá trị \(f\left( x \right)\) trở nên rất bé khi \(x\) dần tới 1 phía bên trái.
Tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{2x}}{{x - 3}}\);
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {3x - 1} \right)\).
Phương pháp giải:
Bước 1: Đưa hàm số \(f\left( x \right)\) về tích của hai hàm số, trong đó một hàm số có giới hạn hữu hạn, còn một hàm số có giới hạn vô cực.
Bước 2: Áp dụng quy tắc xét dấu để tính giới hạn của tích.
Lời giải chi tiết:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{2x}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {2x} \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{1}{{x - 3}}\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {2x} \right) = 2\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} x = 2.3 = 6;\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{1}{{x - 3}} = - \infty \)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{2x}}{{x - 3}} = - \infty \)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {3x - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {3 - \frac{1}{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x.\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {3 - \frac{1}{x}} \right)\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {3 - \frac{1}{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 3 - \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{x} = 3 - 0 = 3\)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {3x - 1} \right) = + \infty \)
Xét tình huống ở đầu bài học. Gọi \(x\) là hoành độ điểm \(H\). Tính diện tích \(S\left( x \right)\) của hình chữ nhật \(OHMK\) theo \(x\). Diện tích này thay đổi như thế nào khi \(x \to {0^ + }\) và khi \(x \to + \infty \).
Phương pháp giải:
− Để tính diện tích \(S\left( x \right)\), ta tìm độ dài \(OH\) và \(OK\) rồi áp dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật.
− Để xác định xem diện tích \(S\left( x \right)\) thay đổi như thế nào khi \(x \to {0^ + }\) và khi \(x \to + \infty \), ta tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} S\left( x \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } S\left( x \right)\).
Lời giải chi tiết:
Giả sử điểm \(M\) có hoành độ là \(x\).
Độ dài \(OH\) là hoành độ của điểm \(M\). Vậy \(OH = x\).
Độ dài \(OK\) là tung độ của điểm \(M\). Vậy \(OK = \frac{1}{{{x^2}}}\).
\(S\left( x \right) = OH.OK = x.\frac{1}{{{x^2}}} = \frac{1}{x}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} S\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x} = + \infty \). Vậy diện tích \(S\left( x \right)\) trở nên rất lớn khi \(x \to {0^ + }\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } S\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{x} = 0\). Vậy diện tích \(S\left( x \right)\) dần về 0 khi \(x \to + \infty \).
Mục 5 trong SGK Toán 11 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo tập trung vào việc nghiên cứu về giới hạn của hàm số tại một điểm. Đây là một khái niệm nền tảng quan trọng trong giải tích, mở đầu cho việc học về đạo hàm và tích phân. Việc hiểu rõ khái niệm giới hạn sẽ giúp học sinh có cái nhìn sâu sắc hơn về sự biến đổi của hàm số và các ứng dụng của nó trong thực tế.
Mục 5 bao gồm các nội dung chính sau:
a) lim (x→2) (x^2 - 4) / (x - 2)
Lời giải:
lim (x→2) (x^2 - 4) / (x - 2) = lim (x→2) (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = lim (x→2) (x + 2) = 2 + 2 = 4
b) lim (x→-1) (x^3 + 1) / (x + 1)
Lời giải:
lim (x→-1) (x^3 + 1) / (x + 1) = lim (x→-1) (x + 1)(x^2 - x + 1) / (x + 1) = lim (x→-1) (x^2 - x + 1) = (-1)^2 - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3
Lời giải:
f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1) = (x - 1)(x + 1) / (x - 1) = x + 1 (với x ≠ 1)
lim (x→1) f(x) = lim (x→1) (x + 1) = 1 + 1 = 2
Lời giải:
Đây là một giới hạn lượng giác cơ bản. Có nhiều cách chứng minh, một trong số đó là sử dụng định lý kẹp (squeeze theorem). Việc chứng minh này đòi hỏi kiến thức về hình học và các bất đẳng thức lượng giác.
Trong quá trình học và ôn tập, học sinh thường gặp các dạng bài tập sau:
Việc giải mục 5 trang 77, 78 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bước quan trọng trong quá trình học tập môn Toán 11. Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các hướng dẫn trên, các em học sinh sẽ nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập về giới hạn.
