Chương 3 Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Chương 3 trong sách Toán 11 Chân trời sáng tạo tập trung vào hai khái niệm cốt lõi: giới hạn của hàm số và tính liên tục của hàm số. Đây là những khái niệm nền tảng, không chỉ quan trọng cho việc học tập ở bậc trung học phổ thông mà còn là bước đệm cho các môn học toán cao cấp hơn ở đại học.

I. Giới hạn của hàm số

1. Khái niệm giới hạn tại một điểm:

Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a, ký hiệu là lim_x→a f(x), là giá trị mà f(x) tiến gần tới khi x tiến gần a nhưng không bằng a. Để hiểu rõ hơn, ta cần phân biệt giới hạn trái, giới hạn phải và giới hạn hai phía.

Giới hạn trái: lim_x→a^- f(x) (x tiến tới a từ bên trái)
Giới hạn phải: lim_x→a⁺ f(x) (x tiến tới a từ bên phải)
Giới hạn hai phía: lim_x→a f(x) tồn tại khi và chỉ khi giới hạn trái và giới hạn phải cùng tồn tại và bằng nhau.

2. Các dạng vô định:

Khi tính giới hạn, ta thường gặp các dạng vô định như 0/0, ∞/∞, ∞ - ∞, 0 * ∞. Việc xử lý các dạng vô định này đòi hỏi các kỹ năng biến đổi đại số như phân tích thành nhân tử, nhân liên hợp, chia cả tử và mẫu cho x (khi x tiến tới vô cùng).

3. Định lý về giới hạn một bên:

Định lý này giúp ta xác định giới hạn của hàm số tại một điểm dựa trên giới hạn của hàm số khi x tiến tới điểm đó từ bên trái và bên phải.

II. Hàm số liên tục

1. Khái niệm hàm số liên tục tại một điểm:

Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x₀ nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:

Hàm số f(x) xác định tại x₀.
Hàm số f(x) có giới hạn tại x₀.
lim_x→x₀ f(x) = f(x₀).

2. Hàm số liên tục trên một khoảng:

Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a, b) nếu nó liên tục tại mọi điểm trong khoảng đó.

3. Các tính chất của hàm số liên tục:

Tổng, hiệu, tích của các hàm số liên tục là một hàm số liên tục.
Thương của hai hàm số liên tục (mẫu khác 0) là một hàm số liên tục.
Hàm hợp của các hàm số liên tục là một hàm số liên tục.

III. Bài tập minh họa

Bài 1: Tính lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2)

Giải:

lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2) = lim_x→2 (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = lim_x→2 (x + 2) = 4

Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = { x², x < 1; 2x - 1, x ≥ 1 } tại x = 1

Giải:

lim_x→1^- f(x) = lim_x→1^- x² = 1

lim_x→1⁺ f(x) = lim_x→1⁺ (2x - 1) = 1

f(1) = 2(1) - 1 = 1

Vì lim_x→1^- f(x) = lim_x→1⁺ f(x) = f(1) = 1, nên hàm số f(x) liên tục tại x = 1.

IV. Luyện tập và củng cố

Để nắm vững kiến thức về giới hạn và hàm số liên tục, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Montoan.com.vn cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao, giúp bạn tự tin giải quyết mọi bài toán.

Việc hiểu rõ các khái niệm và tính chất của giới hạn và hàm số liên tục là vô cùng quan trọng, không chỉ cho việc học tập môn Toán mà còn là nền tảng cho các môn học khác liên quan đến toán học và khoa học tự nhiên.