Lý thuyết Cấp số cộng - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo
Lý thuyết Cấp số cộng - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Cấp số cộng trong chương trình SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tại montoan.com.vn. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức nền tảng, công thức quan trọng và các ví dụ minh họa để bạn hiểu rõ về cấp số cộng.
Chúng tôi cam kết mang đến trải nghiệm học toán online hiệu quả, giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến cấp số cộng.
1. Cấp số cộng
1. Cấp số cộng
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d, nghĩa là:
\({u_n} = {u_{n - 1}} + d,n \ge 2\)
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
* Nhận xét: Nếu \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của 2 sô hạng đứng kề nó trong dãy, tức là:
\({u_k} = \frac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}\left( {k \ge 2} \right)\)
2. Số hạng tổng quát
Nếu cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu là \({u_1}\) và công sai d thì số hạng tổng quát \({u_n}\)của nó được xác định theo công thức\({u_n} = {u_1} + (n - 1)d,n \ge 2.\)
3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\)với công sai d. Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}\). Khi đó
\({S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]\)
Lý thuyết Cấp số cộng - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo
Cấp số cộng là một trong những khái niệm cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán học lớp 11. Việc nắm vững lý thuyết và các ứng dụng của cấp số cộng là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong tương lai.
1. Định nghĩa Cấp số cộng
Một dãy số được gọi là cấp số cộng nếu có một số không đổi d, gọi là công sai, sao cho với mọi n ≥ 1, ta có:
un+1 = un + d
Trong đó:
- un là số hạng thứ n của dãy.
- d là công sai.
2. Các tính chất của Cấp số cộng
Một số tính chất quan trọng của cấp số cộng bao gồm:
- un = u1 + (n - 1)d (Công thức số hạng tổng quát)
- Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: Sn = n/2 * (u1 + un) = n/2 * [2u1 + (n - 1)d]
3. Các dạng bài tập thường gặp về Cấp số cộng
Các bài tập về cấp số cộng thường xoay quanh các chủ đề sau:
- Xác định công sai và số hạng tổng quát của cấp số cộng.
- Tính tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
- Tìm số hạng thứ n của cấp số cộng khi biết các thông tin khác.
- Ứng dụng cấp số cộng vào giải quyết các bài toán thực tế.
4. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 2 và công sai d = 3. Tìm số hạng thứ 5 của cấp số cộng.
Giải:
Sử dụng công thức un = u1 + (n - 1)d, ta có:
u5 = 2 + (5 - 1) * 3 = 2 + 12 = 14
Ví dụ 2: Cho cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 1 và tổng của 10 số hạng đầu tiên là S10 = 55. Tìm công sai d.
Giải:
Sử dụng công thức Sn = n/2 * [2u1 + (n - 1)d], ta có:
55 = 10/2 * [2 * 1 + (10 - 1)d]
55 = 5 * (2 + 9d)
11 = 2 + 9d
9d = 9
d = 1
5. Luyện tập và củng cố kiến thức
Để nắm vững kiến thức về cấp số cộng, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Dưới đây là một số bài tập gợi ý:
- Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 3 và công sai d = -2.
- Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 5 và công sai d = 4.
- Tìm công sai d của cấp số cộng biết u3 = 7 và u7 = 15.
6. Kết luận
Lý thuyết Cấp số cộng là một phần quan trọng của chương trình Toán 11. Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cần thiết và giúp bạn tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến cấp số cộng. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và đạt kết quả tốt nhất!
