Bài 5. Phương trình và bất phương trình lôgarit

Bài 5. Phương trình và bất phương trình lôgarit - SGK Toán 11

Bài 5 trong chương trình Toán 11 tập 2, thuộc Chương VI: Hàm số mũ và hàm số lôgarit, tập trung vào việc giải quyết các phương trình và bất phương trình chứa lôgarit. Đây là một phần kiến thức quan trọng, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các tính chất của hàm số lôgarit và các quy tắc biến đổi lôgarit.

I. Lý thuyết cơ bản

1. Phương trình lôgarit: Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức lôgarit. Để giải phương trình lôgarit, ta thường sử dụng các phương pháp sau:

Đưa về cùng cơ số: Nếu các biểu thức trong phương trình có cùng cơ số, ta có thể đưa phương trình về dạng đơn giản hơn.
Sử dụng tính chất của lôgarit: Áp dụng các tính chất như log_a(b) + log_a(c) = log_a(bc), log_a(b) - log_a(c) = log_a(b/c), k.log_a(b) = log_a(b^k) để biến đổi phương trình.
Đặt ẩn phụ: Trong một số trường hợp, ta có thể đặt ẩn phụ để đơn giản hóa phương trình.

2. Bất phương trình lôgarit: Bất phương trình lôgarit là bất phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức lôgarit. Để giải bất phương trình lôgarit, ta cần chú ý đến các trường hợp sau:

Cơ số của lôgarit: Nếu cơ số a > 1, bất phương trình log_a(x) > log_a(y) tương đương với x > y. Nếu 0 < a < 1, bất phương trình log_a(x) > log_a(y) tương đương với x < y.
Điều kiện xác định: Luôn kiểm tra điều kiện xác định của lôgarit trước khi giải bất phương trình.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình log₂(x + 1) = 3

Giải:

x + 1 = 2³
x + 1 = 8
x = 7
Kiểm tra điều kiện: x + 1 > 0, tức là x > -1. Vậy x = 7 là nghiệm của phương trình.

Ví dụ 2: Giải bất phương trình log_1/2(x - 2) > 1

Giải:

x - 2 < (1/2)¹
x - 2 < 1/2
x < 5/2
Kiểm tra điều kiện: x - 2 > 0, tức là x > 2. Vậy 2 < x < 5/2 là nghiệm của bất phương trình.

III. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau:

Giải phương trình log₃(2x - 1) = 2
Giải bất phương trình log₂(x + 3) < 4
Giải phương trình log₅(x² - 4x + 5) = 1

IV. Lưu ý quan trọng

Khi giải phương trình và bất phương trình lôgarit, các em cần lưu ý những điều sau:

Luôn kiểm tra điều kiện xác định của lôgarit.
Sử dụng đúng các tính chất của lôgarit.
Biến đổi phương trình và bất phương trình một cách cẩn thận.

Hy vọng với những kiến thức và ví dụ minh họa trên, các em sẽ nắm vững nội dung bài 5 và có thể tự tin giải các bài tập liên quan đến phương trình và bất phương trình lôgarit. Chúc các em học tập tốt!