Bài 7. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Trong hình học, đường trung tuyến của một tam giác là đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến, và chúng đồng quy tại một điểm đặc biệt gọi là trọng tâm của tam giác.

I. Khái niệm đường trung tuyến

Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Đoạn thẳng AM được gọi là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC.

II. Tính chất của ba đường trung tuyến

Tính chất quan trọng nhất của ba đường trung tuyến là chúng đồng quy tại một điểm. Điểm đồng quy này được gọi là trọng tâm (G) của tam giác.

Trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến theo tỷ lệ 2:1, tính từ đỉnh. Nghĩa là, nếu AM là đường trung tuyến và G là trọng tâm, thì AG = 2GM.
Trọng tâm là điểm cân bằng của tam giác. Nếu đặt tam giác trên một điểm nhọn tại trọng tâm, tam giác sẽ cân bằng.

III. Chứng minh tính chất ba đường trung tuyến đồng quy

Để chứng minh ba đường trung tuyến đồng quy, ta có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau. Một trong những phương pháp phổ biến là sử dụng định lý Ceva.

Định lý Ceva: Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho AD, BE, CF đồng quy. Khi đó:

(BD/DC) * (CE/EA) * (AF/FB) = 1

Áp dụng định lý Ceva vào tam giác ABC với các đường trung tuyến AM, BN, CP, ta có D, E, F là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Do đó, BD = DC, CE = EA, AF = FB. Thay vào định lý Ceva, ta được:

(1) * (1) * (1) = 1

Điều này chứng tỏ ba đường trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại một điểm, chính là trọng tâm G.

IV. Ứng dụng của tính chất ba đường trung tuyến

Tính chất ba đường trung tuyến có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán hình học, đặc biệt là các bài toán liên quan đến trọng tâm của tam giác.

Tìm trọng tâm của tam giác: Nếu biết tọa độ của các đỉnh của tam giác, ta có thể tìm tọa độ của trọng tâm bằng công thức: G = ((xA + xB + xC)/3, (yA + yB + yC)/3).
Chứng minh các điểm thẳng hàng: Sử dụng tính chất trọng tâm để chứng minh các điểm thẳng hàng.
Tính độ dài đường trung tuyến: Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến dựa vào độ dài các cạnh của tam giác.

V. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM là đường trung tuyến.

Bài 2: Cho tam giác ABC, G là trọng tâm. Biết AG = 6cm. Tính độ dài GM.

Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, BC = 8cm, CA = 10cm. Tính độ dài đường trung tuyến AM.

VI. Kết luận

Bài 7. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 7. Việc nắm vững lý thuyết và vận dụng linh hoạt các tính chất của đường trung tuyến và trọng tâm sẽ giúp các em giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả. Hy vọng rằng, với những kiến thức được cung cấp tại montoan.com.vn, các em sẽ học tập tốt môn Toán và đạt được kết quả cao.

Chúc các em học tốt!