Bài 8. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Bài 8. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ - SGK Toán 12 - Kết nối tri thức

Bài 8 trong chương trình Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức đi sâu vào việc ứng dụng tọa độ để biểu diễn và thực hiện các phép toán vectơ trong không gian. Việc nắm vững kiến thức này không chỉ giúp các em giải quyết các bài tập trong sách giáo khoa mà còn là nền tảng cho việc học tập các môn học liên quan đến hình học và vật lý.

1. Ôn tập về vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Trước khi đi vào các phép toán, chúng ta cần ôn lại một số khái niệm cơ bản:

• Vectơ: Một đoạn thẳng có hướng, được xác định bởi điểm đầu và điểm cuối.
• Hệ trục tọa độ: Gồm ba trục vuông góc nhau (Ox, Oy, Oz) xác định một điểm trong không gian bằng bộ ba số (x, y, z).
• Tọa độ của vectơ: Nếu A(x_A, y_A, z_A) và B(x_B, y_B, z_B) thì vectơ AB có tọa độ là (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A).

2. Biểu thức tọa độ của phép cộng vectơ

Cho hai vectơ a = (x_a, y_a, z_a) và b = (x_b, y_b, z_b). Khi đó, vectơ tổng a + b có tọa độ là:

a + b = (x_a + x_b, y_a + y_b, z_a + z_b)

Nói cách khác, ta cộng từng thành phần tương ứng của hai vectơ.

3. Biểu thức tọa độ của phép trừ vectơ

Tương tự như phép cộng, cho hai vectơ a = (x_a, y_a, z_a) và b = (x_b, y_b, z_b). Vectơ hiệu a - b có tọa độ là:

a - b = (x_a - x_b, y_a - y_b, z_a - z_b)

Ta trừ từng thành phần tương ứng của hai vectơ.

4. Biểu thức tọa độ của phép nhân vectơ với một số

Cho vectơ a = (x_a, y_a, z_a) và một số thực k. Vectơ tích ka có tọa độ là:

ka = (kx_a, ky_a, kz_a)

Ta nhân từng thành phần của vectơ với số thực đó.

5. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Cho hai vectơ a = (x_a, y_a, z_a) và b = (x_b, y_b, z_b). Tích vô hướng của hai vectơ a.b được tính bằng:

a.b = x_ax_b + y_ay_b + z_az_b

Tích vô hướng là một số thực, cho biết độ tương đồng về hướng giữa hai vectơ.

6. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho a = (1, 2, 3) và b = (4, 5, 6). Tính a + b và a - b.

a + b = (1 + 4, 2 + 5, 3 + 6) = (5, 7, 9)

a - b = (1 - 4, 2 - 5, 3 - 6) = (-3, -3, -3)

Ví dụ 2: Cho a = (2, -1, 0) và k = 3. Tính ka.

ka = (3 * 2, 3 * -1, 3 * 0) = (6, -3, 0)

Ví dụ 3: Cho a = (1, 0, -1) và b = (0, 1, 1). Tính a.b.

a.b = (1 * 0) + (0 * 1) + (-1 * 1) = -1

7. Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức, các em hãy tự giải các bài tập sau trong SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức:

• Bài 8.1
• Bài 8.2
• Bài 8.3

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ. Chúc các em học tập tốt!