Giải mục 2 trang 69, 70 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Giải mục 2 trang 69, 70 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 2 trang 69, 70 sách giáo khoa Toán 12 tập 1 chương trình Kết nối tri thức. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức, hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, đầy đủ và trình bày một cách rõ ràng nhất để hỗ trợ tối đa cho quá trình học tập của các em.
Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
LT3
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 69SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong Ví dụ 3, tính \({\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2}\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức hệ về biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x';y';z'} \right)\). Ta có:
+ \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {x + x';y + y';z + z'} \right)\)
+ \(k\overrightarrow a = \left( {kx;ky;kz} \right)\) với k là một số thực.
+ \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = xx' + yy' + zz'\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({\overrightarrow a ^2} = {1^2} + {4^2} + {2^2} = 21;{\overrightarrow b ^2} = {\left( { - 4} \right)^2} + {1^2} + 0 = 17;\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\)
Do đó, \({\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = {\overrightarrow a ^2} + 2.\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2} = 21 + 2.0 + 17 = 38\)
LT4
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 70SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho \(A\left( {0;2;1} \right),B\left( {3; - 2;1} \right)\) và \(C\left( { - 2;5;7} \right)\).
a) Tính chu vi của tam giác ABC.
b) Tính \(\widehat {BAC}\).
Phương pháp giải:
a) Sử dụng kiến thức về độ dài đoạn thẳng trong không gian để tính: Nếu \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) thì \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \)
b) Sử dụng kiến thức về cosin góc của 2 vectơ trong không gian để tính: Nếu \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x';y';z'} \right)\) là hai vectơ khác \(\overrightarrow 0 \) thì \(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{xx' + yy' + zz'}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} .\sqrt {x{'^2} + y{'^2} + z{'^2}} }}\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( {3; - 4;0} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = 5;\)
\(\overrightarrow {AC} \left( { - 2;3;6} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2} + {6^2}} = 7\)
Vậy chu vi tam giác ABC là:
b) Vì \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{3.\left( { - 2} \right) + \left( { - 4} \right).3 + 0.6}}{{5.7}} = \frac{{ - 18}}{{35}} \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) \approx 120,{9^0}\)
Nên \(\widehat {BAC} = {180^0} - 120,{9^0} = 59,{1^0}\).
HĐ3
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 69SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x';y';z'} \right)\).
a) Giải thích vì sao \(\overrightarrow i .\overrightarrow i = 1\) và \(\overrightarrow i .\overrightarrow j = \overrightarrow i .\overrightarrow k = 0\).
b) Sử dụng biểu diễn \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) để tính các tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow i ;\overrightarrow a .\overrightarrow j \) và \(\overrightarrow a .\overrightarrow k \).
c) Sử dụng biểu diễn \(\overrightarrow b = x'\overrightarrow i + y'\overrightarrow j + z'\overrightarrow k \) để tính các tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) đều khác \(\overrightarrow 0 \). Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là một số, kí hiệu là \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \), được xác định bởi công thức sau: \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
Sử dụng kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) đều khác \(\overrightarrow 0 \). Khi đó, \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow i .\overrightarrow i = \left| {\overrightarrow i } \right|.\left| {\overrightarrow i } \right|.\cos {0^0} = {\left| {\overrightarrow i } \right|^2} = 1\)
Vì \(\overrightarrow i \bot \overrightarrow j \Rightarrow \overrightarrow i .\overrightarrow j = 0;\overrightarrow i \bot \overrightarrow k \Rightarrow \overrightarrow i .\overrightarrow k = 0\)
b) Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow i = \left( {x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k } \right)\overrightarrow i = x.{\overrightarrow i ^2} + y\overrightarrow {.j} .\overrightarrow i + z.\overrightarrow k .\overrightarrow i = x\)
\(\overrightarrow a .\overrightarrow j = \left( {x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k } \right)\overrightarrow j = x\overrightarrow i .\overrightarrow j + y{\overrightarrow j ^2} + z\overrightarrow k .\overrightarrow j = y\)
\(\overrightarrow a .\overrightarrow k = \left( {x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k } \right).\overrightarrow k = x\overrightarrow i .\overrightarrow k + y\overrightarrow j .\overrightarrow k + z.{\overrightarrow k ^2} = z\)
c) Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left( {x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k } \right).\left( {x'\overrightarrow i + y'\overrightarrow j + z'\overrightarrow k } \right)\)
\( = xx'{\overrightarrow i ^2} + xy'.\overrightarrow i .\overrightarrow j + xz'\overrightarrow i .\overrightarrow k + x'y.\overrightarrow i .\overrightarrow j + yy'.{\overrightarrow j ^2} + yz'\overrightarrow j .\overrightarrow k + zx'.\overrightarrow k .\overrightarrow i + zy'.\overrightarrow k \overrightarrow j + zz'{\overrightarrow k ^2}\)
Mà \(\overrightarrow i .\overrightarrow k = 0;\overrightarrow i .\overrightarrow j = 0;\overrightarrow j .\overrightarrow k = 0\) nên: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = xx' + yy' + zz'\)
- HĐ3
- LT3
- LT4
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 69SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x';y';z'} \right)\).
a) Giải thích vì sao \(\overrightarrow i .\overrightarrow i = 1\) và \(\overrightarrow i .\overrightarrow j = \overrightarrow i .\overrightarrow k = 0\).
b) Sử dụng biểu diễn \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) để tính các tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow i ;\overrightarrow a .\overrightarrow j \) và \(\overrightarrow a .\overrightarrow k \).
c) Sử dụng biểu diễn \(\overrightarrow b = x'\overrightarrow i + y'\overrightarrow j + z'\overrightarrow k \) để tính các tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) đều khác \(\overrightarrow 0 \). Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là một số, kí hiệu là \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \), được xác định bởi công thức sau: \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
Sử dụng kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) đều khác \(\overrightarrow 0 \). Khi đó, \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow i .\overrightarrow i = \left| {\overrightarrow i } \right|.\left| {\overrightarrow i } \right|.\cos {0^0} = {\left| {\overrightarrow i } \right|^2} = 1\)
Vì \(\overrightarrow i \bot \overrightarrow j \Rightarrow \overrightarrow i .\overrightarrow j = 0;\overrightarrow i \bot \overrightarrow k \Rightarrow \overrightarrow i .\overrightarrow k = 0\)
b) Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow i = \left( {x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k } \right)\overrightarrow i = x.{\overrightarrow i ^2} + y\overrightarrow {.j} .\overrightarrow i + z.\overrightarrow k .\overrightarrow i = x\)
\(\overrightarrow a .\overrightarrow j = \left( {x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k } \right)\overrightarrow j = x\overrightarrow i .\overrightarrow j + y{\overrightarrow j ^2} + z\overrightarrow k .\overrightarrow j = y\)
\(\overrightarrow a .\overrightarrow k = \left( {x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k } \right).\overrightarrow k = x\overrightarrow i .\overrightarrow k + y\overrightarrow j .\overrightarrow k + z.{\overrightarrow k ^2} = z\)
c) Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left( {x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k } \right).\left( {x'\overrightarrow i + y'\overrightarrow j + z'\overrightarrow k } \right)\)
\( = xx'{\overrightarrow i ^2} + xy'.\overrightarrow i .\overrightarrow j + xz'\overrightarrow i .\overrightarrow k + x'y.\overrightarrow i .\overrightarrow j + yy'.{\overrightarrow j ^2} + yz'\overrightarrow j .\overrightarrow k + zx'.\overrightarrow k .\overrightarrow i + zy'.\overrightarrow k \overrightarrow j + zz'{\overrightarrow k ^2}\)
Mà \(\overrightarrow i .\overrightarrow k = 0;\overrightarrow i .\overrightarrow j = 0;\overrightarrow j .\overrightarrow k = 0\) nên: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = xx' + yy' + zz'\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 69SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong Ví dụ 3, tính \({\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2}\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức hệ về biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x';y';z'} \right)\). Ta có:
+ \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {x + x';y + y';z + z'} \right)\)
+ \(k\overrightarrow a = \left( {kx;ky;kz} \right)\) với k là một số thực.
+ \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = xx' + yy' + zz'\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({\overrightarrow a ^2} = {1^2} + {4^2} + {2^2} = 21;{\overrightarrow b ^2} = {\left( { - 4} \right)^2} + {1^2} + 0 = 17;\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\)
Do đó, \({\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = {\overrightarrow a ^2} + 2.\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2} = 21 + 2.0 + 17 = 38\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 70SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho \(A\left( {0;2;1} \right),B\left( {3; - 2;1} \right)\) và \(C\left( { - 2;5;7} \right)\).
a) Tính chu vi của tam giác ABC.
b) Tính \(\widehat {BAC}\).
Phương pháp giải:
a) Sử dụng kiến thức về độ dài đoạn thẳng trong không gian để tính: Nếu \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) thì \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \)
b) Sử dụng kiến thức về cosin góc của 2 vectơ trong không gian để tính: Nếu \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x';y';z'} \right)\) là hai vectơ khác \(\overrightarrow 0 \) thì \(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{xx' + yy' + zz'}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} .\sqrt {x{'^2} + y{'^2} + z{'^2}} }}\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( {3; - 4;0} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = 5;\)
\(\overrightarrow {AC} \left( { - 2;3;6} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2} + {6^2}} = 7\)
Vậy chu vi tam giác ABC là:
b) Vì \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{3.\left( { - 2} \right) + \left( { - 4} \right).3 + 0.6}}{{5.7}} = \frac{{ - 18}}{{35}} \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) \approx 120,{9^0}\)
Nên \(\widehat {BAC} = {180^0} - 120,{9^0} = 59,{1^0}\).
Giải mục 2 trang 69, 70 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức: Tổng quan
Mục 2 của SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức tập trung vào việc nghiên cứu về giới hạn của hàm số. Đây là một khái niệm nền tảng quan trọng trong chương trình Toán học, đặc biệt là trong việc học tập các kiến thức về đạo hàm và tích phân ở các lớp trên. Việc nắm vững kiến thức về giới hạn hàm số sẽ giúp học sinh hiểu rõ hơn về sự biến đổi của hàm số khi biến số tiến tới một giá trị nhất định.
Nội dung chính của mục 2 trang 69, 70
Mục 2 bao gồm các nội dung chính sau:
- Khái niệm giới hạn của hàm số tại một điểm: Định nghĩa giới hạn, ý nghĩa của giới hạn, cách kiểm tra giới hạn của hàm số tại một điểm.
- Giới hạn một bên: Giới hạn bên trái, giới hạn bên phải, điều kiện để giới hạn của hàm số tại một điểm tồn tại.
- Các tính chất của giới hạn: Tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn, giới hạn của hàm hợp.
- Các dạng giới hạn thường gặp: Giới hạn của các hàm đa thức, hàm hữu tỉ, hàm lượng giác.
Bài tập và lời giải chi tiết
Dưới đây là lời giải chi tiết cho các bài tập trong mục 2 trang 69, 70 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức:
Bài 1: Tính các giới hạn sau
a) lim (x→2) (x^2 + 3x - 1)
Lời giải: Áp dụng tính chất của giới hạn, ta có:
lim (x→2) (x^2 + 3x - 1) = 2^2 + 3*2 - 1 = 4 + 6 - 1 = 9
b) lim (x→-1) (x^3 - 2x + 5)
Lời giải: Tương tự như trên, ta có:
lim (x→-1) (x^3 - 2x + 5) = (-1)^3 - 2*(-1) + 5 = -1 + 2 + 5 = 6
Bài 2: Tính các giới hạn sau
a) lim (x→3) (x - 3) / (x^2 - 9)
Lời giải: Ta có thể phân tích mẫu số thành nhân tử:
lim (x→3) (x - 3) / (x^2 - 9) = lim (x→3) (x - 3) / ((x - 3)(x + 3)) = lim (x→3) 1 / (x + 3) = 1 / (3 + 3) = 1/6
b) lim (x→0) sin(x) / x
Lời giải: Đây là một giới hạn lượng giác cơ bản. Ta biết rằng:
lim (x→0) sin(x) / x = 1
Phương pháp giải bài tập về giới hạn hàm số
Để giải các bài tập về giới hạn hàm số một cách hiệu quả, các em có thể áp dụng các phương pháp sau:
- Phân tích thành nhân tử: Nếu biểu thức chứa phân số, hãy cố gắng phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử để rút gọn biểu thức.
- Sử dụng các tính chất của giới hạn: Áp dụng các tính chất của giới hạn để biến đổi biểu thức về dạng đơn giản hơn.
- Sử dụng các giới hạn lượng giác đặc biệt: Nhớ các giới hạn lượng giác cơ bản như lim (x→0) sin(x) / x = 1.
- Sử dụng quy tắc L'Hôpital: Nếu gặp các dạng giới hạn vô định, có thể sử dụng quy tắc L'Hôpital để tính giới hạn.
Lời khuyên khi học về giới hạn hàm số
Để học tốt về giới hạn hàm số, các em nên:
- Nắm vững định nghĩa và các tính chất của giới hạn.
- Luyện tập nhiều bài tập để làm quen với các dạng bài khác nhau.
- Hiểu rõ ý nghĩa của giới hạn trong thực tế.
- Tham khảo các tài liệu học tập và tìm kiếm sự giúp đỡ từ giáo viên hoặc bạn bè khi gặp khó khăn.
Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức hữu ích về giải mục 2 trang 69, 70 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!
