Giải bài tập 5.44 trang 62 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Giải bài tập 5.44 trang 62 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài tập 5.44 trang 62 SGK Toán 12 tập 2 thuộc chương trình học Toán 12 Kết nối tri thức. Bài tập này thường xoay quanh các kiến thức về số phức, phép toán trên số phức và ứng dụng của số phức trong giải quyết các bài toán đại số.
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài tập 5.44, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): \(x - 2y - 2z - 3 = 0\) và đường thẳng d: \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\). Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P).
Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): \(x - 2y - 2z - 3 = 0\) và đường thẳng d: \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\). Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương để viết phương trình: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) có thể thực hiện theo các bước sau:
+ Tìm vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
Lời giải chi tiết
Đường thẳng d nhận \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {2;1; - 1} \right)\) làm một vectơ chỉ phương và đi qua điểm \(A\left( {1; - 1;0} \right)\).
Mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow n \left( {1; - 2; - 2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
\(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow n } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 1}\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&2\\{ - 2}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\1&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 4;3; - 5} \right)\)
Vì mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P) nên mặt phẳng (Q) nhận \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow n } \right] = \left( { - 4;3; - 5} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến. Mà điểm \(A\left( {1; - 1;0} \right)\) thuộc mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng (Q) là: \( - 4\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + 1} \right) - 5z = 0 \Leftrightarrow - 4x + 3y - 5z + 7 = 0\)
Giải bài tập 5.44 trang 62 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Hướng dẫn chi tiết và dễ hiểu
Bài tập 5.44 trang 62 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 12, giúp học sinh củng cố kiến thức về số phức và các phép toán liên quan. Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết bài tập này:
Đề bài:
Giải phương trình sau: (z - 1)^2 + (z + 1)^2 = 8
Lời giải:
Để giải phương trình này, ta thực hiện các bước sau:
- Khai triển các biểu thức:
(z - 1)^2 = z^2 - 2z + 1
(z + 1)^2 = z^2 + 2z + 1
- Thay thế vào phương trình ban đầu:
(z^2 - 2z + 1) + (z^2 + 2z + 1) = 8
- Rút gọn phương trình:
2z^2 + 2 = 8
2z^2 = 6
z^2 = 3
- Tìm nghiệm của phương trình:
z = √3 hoặc z = -√3
Kết luận:
Vậy phương trình (z - 1)^2 + (z + 1)^2 = 8 có hai nghiệm là z = √3 và z = -√3.
Phân tích sâu hơn về bài toán
Bài toán này yêu cầu học sinh nắm vững các kiến thức sau:
- Định nghĩa số phức: Số phức có dạng z = a + bi, trong đó a, b là các số thực và i là đơn vị ảo (i^2 = -1).
- Các phép toán trên số phức: Cộng, trừ, nhân, chia số phức.
- Phương trình bậc hai với hệ số thực: Cách giải phương trình bậc hai và tìm nghiệm.
Để giải bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần:
- Hiểu rõ đề bài: Xác định đúng các yếu tố đã cho và yêu cầu của bài toán.
- Sử dụng các công thức và định lý liên quan: Áp dụng các công thức và định lý đã học để giải quyết bài toán.
- Kiểm tra lại kết quả: Đảm bảo rằng kết quả tìm được là chính xác và phù hợp với điều kiện của bài toán.
Ứng dụng của số phức trong thực tế
Số phức không chỉ là một khái niệm trừu tượng trong toán học mà còn có nhiều ứng dụng quan trọng trong thực tế, đặc biệt trong các lĩnh vực:
- Kỹ thuật điện: Phân tích mạch điện xoay chiều.
- Vật lý: Mô tả các hiện tượng sóng, cơ học lượng tử.
- Xử lý tín hiệu: Phân tích và xử lý tín hiệu âm thanh, hình ảnh.
- Toán học ứng dụng: Giải các bài toán về động lực học, thủy động lực học.
Việc nắm vững kiến thức về số phức và các ứng dụng của nó sẽ giúp học sinh có thêm những công cụ hữu ích để giải quyết các bài toán thực tế và phát triển sự sáng tạo trong học tập và nghiên cứu.
Luyện tập thêm
Để củng cố kiến thức về số phức và rèn luyện kỹ năng giải toán, các em học sinh có thể tham khảo thêm các bài tập sau:
- Giải phương trình (z + 2i)^2 = -1
- Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = (1 + i)^3
- Tính giá trị của biểu thức (2 + 3i)(1 - i)
Montoan.com.vn hy vọng rằng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài tập 5.44 trang 62 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức và có thể tự tin giải quyết các bài toán tương tự.
