Giải bài tập 5.45 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Giải bài tập 5.45 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài tập 5.45 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 thuộc chương trình học Toán 12 Kết nối tri thức. Đây là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài tập này, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d: \(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}\) và \(d':\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{2}\). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d’.
Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d: \(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}\) và \(d':\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{2}\). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d’.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương để viết phương trình: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) có thể thực hiện theo các bước sau:
+ Tìm vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
Lời giải chi tiết
Đường thẳng d nhận \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {1;2; - 1} \right)\) làm một vectơ chỉ phương và đi qua điểm \(A\left( { - 1;1;0} \right)\).
Đường thẳng d’ nhận \(\overrightarrow {{u_2}} \left( {1;1;2} \right)\) làm một vectơ chỉ phương.
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\1&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\2&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\1&1\end{array}} \right|} \right) = \left( {5; - 3; - 1} \right)\)
Vì mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d’ nên mặt phẳng (P) nhận \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {5; - 3; - 1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
Mà điểm \(A\left( { - 1;1;0} \right)\) thuộc mặt phẳng (P) nên phương trình mặt phẳng (P) là:
\(5\left( {x + 1} \right) - 3\left( {y - 1} \right) - z = 0 \Leftrightarrow 5x - 3y - z + 8 = 0\)
Giải bài tập 5.45 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Tổng quan
Bài tập 5.45 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức yêu cầu học sinh khảo sát hàm số bậc ba bằng cách sử dụng đạo hàm để tìm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và vẽ đồ thị hàm số. Đây là một bài tập điển hình để củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc phân tích hàm số.
Phân tích đề bài
Để giải bài tập này, học sinh cần thực hiện các bước sau:
- Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số.
- Tìm các điểm cực trị của hàm số bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0.
- Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số dựa vào dấu của đạo hàm.
- Tìm giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cùng và các điểm đặc biệt khác.
- Vẽ đồ thị hàm số dựa trên các thông tin đã thu thập.
Lời giải chi tiết bài tập 5.45
Giả sử hàm số cần khảo sát là: y = x3 - 3x2 + 2 (ví dụ minh họa)
Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất
y' = 3x2 - 6x
Bước 2: Tìm điểm cực trị
Giải phương trình y' = 0:
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy x = 0 hoặc x = 2
Bước 3: Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến
- Với x < 0, y' > 0, hàm số đồng biến trên (-∞, 0).
- Với 0 < x < 2, y' < 0, hàm số nghịch biến trên (0, 2).
- Với x > 2, y' > 0, hàm số đồng biến trên (2, +∞).
Bước 4: Tìm giới hạn và các điểm đặc biệt
limx→-∞ y = -∞
limx→+∞ y = +∞
Điểm cực đại: x = 0, y = 2
Điểm cực tiểu: x = 2, y = -2
Bước 5: Vẽ đồ thị hàm số
Dựa vào các thông tin trên, ta có thể vẽ được đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Đồ thị sẽ đi qua các điểm cực trị (0, 2) và (2, -2), đồng biến trên (-∞, 0) và (2, +∞), nghịch biến trên (0, 2).
Lưu ý khi giải bài tập
- Luôn kiểm tra lại các bước tính toán đạo hàm để tránh sai sót.
- Xác định đúng khoảng đồng biến, nghịch biến dựa vào dấu của đạo hàm.
- Vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác để hiểu rõ hơn về tính chất của hàm số.
Ứng dụng của bài tập
Bài tập 5.45 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức không chỉ giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm mà còn là nền tảng để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến tối ưu hóa, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Tổng kết
Việc giải bài tập 5.45 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Bằng cách thực hiện các bước giải một cách cẩn thận và chính xác, học sinh có thể tự tin giải quyết bài tập này và các bài tập tương tự.
