Giải bài tập 4.18 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Giải bài tập 4.18 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài tập 4.18 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức trên website montoan.com.vn. Bài viết này sẽ cung cấp cho các em lời giải chính xác, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những tài liệu học tập chất lượng cao, hỗ trợ các em trong quá trình học tập môn Toán.
Khối chỏm cầu có bán kính R và chiều cao h\(\left( {0 < h \le R} \right)\) sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn có phương trình \(y = \sqrt {{R^2} - {x^2}} \), trục hoành và hai đường thẳng \(x = R - h,x = R\) xung quanh trục Ox (H.4.30). Tính thể tích của khối chỏm cầu này.
Đề bài
Khối chỏm cầu có bán kính R và chiều cao h\(\left( {0 < h \le R} \right)\) sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn có phương trình \(y = \sqrt {{R^2} - {x^2}} \), trục hoành và hai đường thẳng \(x = R - h,x = R\) xung quanh trục Ox (H.4.30). Tính thể tích của khối chỏm cầu này.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về công thức tính thể tích của khối tròn xoay để tính: Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a; b]. Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,x = b\) xung quanh trục hoành, ta được hình khối gọi là một khối tròn xoay. Khi cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm \(x \in \left[ {a;b} \right]\) được một hình tròn có bán kính f(x). Thể tích của khối tròn xoay này là: \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \).
Lời giải chi tiết
Thể tích khối chỏm cầu là:
\(V = \pi \int\limits_{R - h}^R {\left( {{R^2} - {x^2}} \right)dx} = \pi \left( {{R^2}x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| \begin{array}{l}R\\R - h\end{array} \right.\)
\( = \pi \left[ {{R^3} - \frac{{{R^3}}}{3} - {R^2}\left( {R - h} \right) + \frac{{{{\left( {R - h} \right)}^3}}}{3}} \right] = \pi {h^2}\left( {R - \frac{h}{3}} \right)\)
Giải bài tập 4.18 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Tổng quan
Bài tập 4.18 thuộc chương trình Toán 12 tập 2, Kết nối tri thức, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để khảo sát hàm số. Cụ thể, bài tập yêu cầu học sinh xác định các khoảng đơn điệu của hàm số, tìm cực trị và vẽ đồ thị hàm số. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, bao gồm:
- Định nghĩa đạo hàm
- Các quy tắc tính đạo hàm
- Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu
- Điều kiện để hàm số đạt cực trị
Lời giải chi tiết bài tập 4.18 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Để giải bài tập 4.18, ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Tính đạo hàm cấp một của hàm số. Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm đã học, ta tính đạo hàm f'(x) của hàm số.
- Bước 2: Tìm các điểm dừng của hàm số. Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm x mà tại đó đạo hàm bằng 0. Các điểm này là các điểm nghi ngờ là cực trị.
- Bước 3: Lập bảng xét dấu đạo hàm. Xét dấu đạo hàm f'(x) trên các khoảng xác định của hàm số, sử dụng các điểm dừng đã tìm được.
- Bước 4: Kết luận về khoảng đơn điệu của hàm số. Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm, ta kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
- Bước 5: Tìm cực trị của hàm số. Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm, ta xác định các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.
- Bước 6: Vẽ đồ thị hàm số. Sử dụng các thông tin đã tìm được về khoảng đơn điệu, cực trị và các điểm đặc biệt khác, ta vẽ đồ thị hàm số.
Ví dụ minh họa
Giả sử hàm số cần khảo sát là f(x) = x3 - 3x2 + 2. Ta thực hiện các bước như sau:
- f'(x) = 3x2 - 6x
- 3x2 - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
- Bảng xét dấu f'(x):
- Hàm số đồng biến trên (-∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên (0; 2).
- Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là f(0) = 2. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là f(2) = -2.
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | - | + | |
| f(x) | Đồng biến | Nghịch biến | Đồng biến |
Lưu ý khi giải bài tập
- Luôn kiểm tra điều kiện xác định của hàm số trước khi tính đạo hàm.
- Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm một cách chính xác.
- Lập bảng xét dấu đạo hàm một cách cẩn thận để tránh sai sót.
- Vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác, chú ý đến các điểm đặc biệt như cực trị, điểm uốn.
Bài tập tương tự
Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập tương tự trong SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức. Ngoài ra, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu học tập khác trên website montoan.com.vn.
Kết luận
Bài tập 4.18 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng khảo sát hàm số bằng đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và các lưu ý trên, các em sẽ tự tin giải bài tập này và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
