Bài 13. Ứng dụng hình học của tích phân

Bài 13 trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức tập 2 tập trung vào việc ứng dụng tích phân để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến hình học, cụ thể là tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay. Đây là một phần kiến thức quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia.

I. Tính diện tích hình phẳng

Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (với a < b), ta sử dụng công thức:

S = ∫_a^b |f(x)| dx

Trong đó:

f(x) là hàm số xác định trên đoạn [a, b]
∫_a^b |f(x)| dx là tích phân xác định của giá trị tuyệt đối của hàm số f(x) từ a đến b.

Nếu f(x) ≥ 0 trên [a, b] thì |f(x)| = f(x). Nếu f(x) ≤ 0 trên [a, b] thì |f(x)| = -f(x).

II. Tính thể tích vật thể tròn xoay

Có hai phương pháp chính để tính thể tích vật thể tròn xoay:

Phương pháp đĩa (hoặc phương pháp lát cắt vuông góc trục quay):

Nếu quay hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox, thể tích vật thể tròn xoay tạo thành là:

V = π ∫_a^b [f(x)]² dx

Phương pháp vỏ (hoặc phương pháp lát cắt song song trục quay):

Nếu quay hình phẳng giới hạn bởi x = f(y), trục Oy và hai đường thẳng y = c, y = d quanh trục Oy, thể tích vật thể tròn xoay tạo thành là:

V = π ∫_c^d [f(y)]² dy

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x², y = 0 và x = 1, x = 2.

Giải:

Diện tích hình phẳng là:

S = ∫₁² x² dx = [x³/3]₁² = (8/3) - (1/3) = 7/3

Ví dụ 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = √x, y = 0 và x = 1 quanh trục Ox.

Giải:

Thể tích vật thể tròn xoay là:

V = π ∫₀¹ (√x)² dx = π ∫₀¹ x dx = π [x²/2]₀¹ = π/2

IV. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = sinx, y = 0 và x = 0, x = π.
Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = e^x, y = 0 và x = 0, x = 1 quanh trục Ox.

V. Lưu ý quan trọng

Khi tính diện tích hình phẳng, cần chú ý đến dấu của hàm số f(x) trên đoạn [a, b]. Nếu f(x) đổi dấu trên đoạn này, cần chia đoạn [a, b] thành các đoạn nhỏ hơn sao cho f(x) không đổi dấu trên mỗi đoạn.

Khi tính thể tích vật thể tròn xoay, cần lựa chọn phương pháp phù hợp (phương pháp đĩa hoặc phương pháp vỏ) dựa vào hình dạng của hình phẳng và trục quay.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và hữu ích về ứng dụng hình học của tích phân. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc gia!