THCS
THCS
Chương trình Toán 12 Kết nối tri thức, phần Ứng dụng hình học của tích phân đóng vai trò quan trọng trong việc củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán. Đây là phần kiến thức then chốt để học sinh chuẩn bị cho kỳ thi THPT Quốc gia.
Tại montoan.com.vn, chúng tôi cung cấp hệ thống bài giảng chi tiết, dễ hiểu, cùng với các bài tập thực hành đa dạng, giúp bạn nắm vững lý thuyết và áp dụng thành thạo vào giải quyết các bài toán thực tế.
1.Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng a) Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b
1.Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng
a) Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \) |
b) Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và hai đường thẳng x = a, x = b
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f(x), g(x) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} \) |
2. Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể
a) Tính thể tích vật thể
Cho một vật thể trong không gian Oxyz. Gọi \(\beta \) là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm có hoành độ x = a, x = b. Một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x cắt vật thể theo mặt cắt có diện tích là S(x). Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Khi đó thể tích V của vật thể \(\beta \) được tính bởi công thức \(V = \int\limits_a^b {S(x)dx} \) |
b) Tính thể tích khối tròn xoay
Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b xung quanh trục hoành, ta được hình khối gọi là một khối tròn xoay. Khi cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm \(x \in \left[ {a;b} \right]\) được một hình tròn có bán kính f(x). Thể tích của khối tròn xoay này là \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} \)\(\) |
Ứng dụng hình học của tích phân là một trong những nội dung quan trọng của chương trình Toán 12 Kết nối tri thức. Nó cho phép chúng ta tính toán diện tích hình phẳng và thể tích khối tròn xoay một cách chính xác và hiệu quả. Dưới đây là tổng hợp lý thuyết chi tiết và các ví dụ minh họa.
Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (với a < b), ta sử dụng công thức:
S = ∫ab |f(x)| dx
Trong đó:
Lưu ý: Nếu f(x) > 0 trên [a, b] thì |f(x)| = f(x). Nếu f(x) < 0 trên [a, b] thì |f(x)| = -f(x).
Có hai phương pháp chính để tính thể tích khối tròn xoay:
Nếu quay hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox, ta được một khối tròn xoay có thể tích:
V = π ∫ab [f(x)]2 dx
Nếu quay hình phẳng giới hạn bởi x = f(y), trục Oy và hai đường thẳng y = c, y = d quanh trục Oy, ta được một khối tròn xoay có thể tích:
V = π ∫cd [f(y)]2 dy
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x2, trục Ox và hai đường thẳng x = -1, x = 2.
Giải:
S = ∫-12 x2 dx = [x3/3]-12 = (8/3) - (-1/3) = 3
Ví dụ 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = √x, trục Ox và x = 4 quanh trục Ox.
Giải:
V = π ∫04 (√x)2 dx = π ∫04 x dx = π [x2/2]04 = π (8) = 8π
Để củng cố kiến thức, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:
Lý thuyết Ứng dụng hình học của tích phân Toán 12 Kết nối tri thức là một phần quan trọng và có tính ứng dụng cao. Việc nắm vững lý thuyết và rèn luyện kỹ năng giải bài tập sẽ giúp bạn đạt kết quả tốt trong kỳ thi THPT Quốc gia và có nền tảng vững chắc cho việc học tập ở các bậc cao hơn.
