Lý thuyết Công thức tính góc trong không gian Toán 12 Kết nối tri thức
Lý thuyết Công thức tính góc trong không gian Toán 12 Kết nối tri thức
Chủ đề góc trong không gian là một phần quan trọng trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức. Việc nắm vững lý thuyết và công thức tính góc sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và chính xác.
montoan.com.vn cung cấp bài học chi tiết, dễ hiểu về lý thuyết góc trong không gian, cùng với các ví dụ minh họa và bài tập thực hành đa dạng.
1. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng
1. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) tương ứng có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = (a;b;c),\overrightarrow {u'} = (a';b';c')\). Khi đó: \(\cos (\Delta ,\Delta ') = \left| {\cos (\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} )} \right| = \frac{{\left| {aa' + bb' + cc'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {a{'^2} + b{'^2} + c{'^2}} }}\) |
2. Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = (a;b;c)\) và mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (A;B;C)\). Khi đó: \(\sin (\Delta ,(P)) = \left| {\cos (\overrightarrow u ,\overrightarrow n )} \right| = \frac{{\left| {aA + bB + cC} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\) |
3. Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (A;B;C),\overrightarrow {n'} = (A';B';C')\). Khi đó, góc giữa (P) và (Q), kí hiệu là ((P), (Q)), được tính theo công thức: \(\cos ((P),(Q)) = \left| {\cos (\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} )} \right| = \frac{{\left| {AA' + BB' + CC'} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .\sqrt {A{'^2} + B{'^2} + C{'^2}} }}\) |
Lý thuyết Công thức tính góc trong không gian Toán 12 Kết nối tri thức
Trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức, kiến thức về góc trong không gian đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết các bài toán về hình học không gian. Bài viết này sẽ cung cấp một cách đầy đủ và chi tiết về lý thuyết, công thức tính góc trong không gian, cùng với các ví dụ minh họa cụ thể.
1. Các khái niệm cơ bản về góc trong không gian
Để hiểu rõ về góc trong không gian, chúng ta cần nắm vững các khái niệm sau:
- Góc giữa hai đường thẳng: Là góc tạo bởi hai đường thẳng khi chúng cắt nhau. Nếu hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau, góc giữa chúng bằng 0 độ.
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Là góc tạo bởi đường thẳng và hình chiếu của nó lên mặt phẳng đó.
- Góc giữa hai mặt phẳng: Là góc tạo bởi hai mặt phẳng khi chúng cắt nhau.
2. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d1 và d2 có vectơ chỉ phương lần lượt là u1 và u2. Góc θ giữa hai đường thẳng được tính theo công thức:
cos θ = |u1 ⋅ u2| / (||u1|| ⋅ ||u2||)
Trong đó:
- u1 ⋅ u2 là tích vô hướng của hai vectơ u1 và u2.
- ||u1|| và ||u2|| là độ dài của hai vectơ u1 và u2.
3. Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương u và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n. Góc θ giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) được tính theo công thức:
sin θ = |u ⋅ n| / (||u|| ⋅ ||n||)
Trong đó:
- u ⋅ n là tích vô hướng của hai vectơ u và n.
- ||u|| và ||n|| là độ dài của hai vectơ u và n.
4. Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có vectơ pháp tuyến lần lượt là n1 và n2. Góc θ giữa hai mặt phẳng được tính theo công thức:
cos θ = |n1 ⋅ n2| / (||n1|| ⋅ ||n2||)
Trong đó:
- n1 ⋅ n2 là tích vô hướng của hai vectơ n1 và n2.
- ||n1|| và ||n2|| là độ dài của hai vectơ n1 và n2.
5. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương u1 = (1; 2; -1) và d2 có vectơ chỉ phương u2 = (-2; 1; 3). Tính góc giữa hai đường thẳng.
Giải:
u1 ⋅ u2 = (1)(-2) + (2)(1) + (-1)(3) = -2 + 2 - 3 = -3
||u1|| = √(12 + 22 + (-1)2) = √6
||u2|| = √((-2)2 + 12 + 32) = √14
cos θ = |-3| / (√6 ⋅ √14) = 3 / √(84) = 3 / (2√21) ≈ 0.327
θ ≈ 70.89°
6. Lưu ý quan trọng
- Luôn kiểm tra điều kiện của các vectơ trước khi áp dụng công thức.
- Sử dụng máy tính bỏ túi để tính toán chính xác các giá trị.
- Hiểu rõ ý nghĩa hình học của các góc để giải quyết bài toán một cách hiệu quả.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cần thiết về lý thuyết và công thức tính góc trong không gian Toán 12 Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt!
