THCS
THCS
Chủ đề góc trong không gian là một phần quan trọng trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức. Việc nắm vững lý thuyết và công thức tính góc sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và chính xác.
montoan.com.vn cung cấp bài học chi tiết, dễ hiểu về lý thuyết góc trong không gian, cùng với các ví dụ minh họa và bài tập thực hành đa dạng.
1. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng
1. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) tương ứng có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = (a;b;c),\overrightarrow {u'} = (a';b';c')\). Khi đó: \(\cos (\Delta ,\Delta ') = \left| {\cos (\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} )} \right| = \frac{{\left| {aa' + bb' + cc'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {a{'^2} + b{'^2} + c{'^2}} }}\) |
2. Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = (a;b;c)\) và mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (A;B;C)\). Khi đó: \(\sin (\Delta ,(P)) = \left| {\cos (\overrightarrow u ,\overrightarrow n )} \right| = \frac{{\left| {aA + bB + cC} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\) |
3. Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (A;B;C),\overrightarrow {n'} = (A';B';C')\). Khi đó, góc giữa (P) và (Q), kí hiệu là ((P), (Q)), được tính theo công thức: \(\cos ((P),(Q)) = \left| {\cos (\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} )} \right| = \frac{{\left| {AA' + BB' + CC'} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .\sqrt {A{'^2} + B{'^2} + C{'^2}} }}\) |
Trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức, kiến thức về góc trong không gian đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết các bài toán về hình học không gian. Bài viết này sẽ cung cấp một cách đầy đủ và chi tiết về lý thuyết, công thức tính góc trong không gian, cùng với các ví dụ minh họa cụ thể.
Để hiểu rõ về góc trong không gian, chúng ta cần nắm vững các khái niệm sau:
Cho hai đường thẳng d1 và d2 có vectơ chỉ phương lần lượt là u1 và u2. Góc θ giữa hai đường thẳng được tính theo công thức:
cos θ = |u1 ⋅ u2| / (||u1|| ⋅ ||u2||)
Trong đó:
Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương u và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n. Góc θ giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) được tính theo công thức:
sin θ = |u ⋅ n| / (||u|| ⋅ ||n||)
Trong đó:
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có vectơ pháp tuyến lần lượt là n1 và n2. Góc θ giữa hai mặt phẳng được tính theo công thức:
cos θ = |n1 ⋅ n2| / (||n1|| ⋅ ||n2||)
Trong đó:
Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương u1 = (1; 2; -1) và d2 có vectơ chỉ phương u2 = (-2; 1; 3). Tính góc giữa hai đường thẳng.
Giải:
u1 ⋅ u2 = (1)(-2) + (2)(1) + (-1)(3) = -2 + 2 - 3 = -3
||u1|| = √(12 + 22 + (-1)2) = √6
||u2|| = √((-2)2 + 12 + 32) = √14
cos θ = |-3| / (√6 ⋅ √14) = 3 / √(84) = 3 / (2√21) ≈ 0.327
θ ≈ 70.89°
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cần thiết về lý thuyết và công thức tính góc trong không gian Toán 12 Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt!
