THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 2 trang 27, 28 sách giáo khoa Toán 12 tập 1 chương trình Kết nối tri thức. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức, hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, đầy đủ và trình bày một cách rõ ràng nhất để hỗ trợ tối đa cho quá trình học tập của các em.
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đa thức bậc 3
Đề bài
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 28 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = - 2{x^3} + 3{x^2} - 5x\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về sơ đồ khảo sát hàm số bậc ba để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
Sơ đồ khảo sát hàm số bậc ba
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số:
+ Tính đạo hàm y’. Tìm các điểm tại đó y’ bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.
+ Xét dấu y’ để chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số.
+ Tìm cực trị của hàm số.
+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực.
+ Lập bảng biến thiên của hàm số.
3. Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.
Lời giải chi tiết
1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
2. Sự biến thiên:
Ta có: \(y' = - 6{x^2} + 6x - 5 = - 6{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{7}{2} \le - \frac{7}{2}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
Hàm số không có cực trị.
Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - 2{x^3} + 3{x^2} - 5x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^3}\left( { - 2 + \frac{3}{x} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} \right] = + \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - 2{x^3} + 3{x^2} - 5x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {{x^3}\left( { - 2 + \frac{3}{x} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} \right] = - \infty \)
Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Giao điểm của đồ thị hàm số \(y = - 2{x^3} + 3{x^2} - 5x\) với trục tung là \(\left( {0;0} \right)\).
Ta có: \( - 2{x^3} + 3{x^2} - 5x = 0 \Leftrightarrow - x\left( {2{x^2} - 3x + 5} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\). Do đó, giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm (0; 0).
Điểm \(\left( {1; - 4} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = - 2{x^3} + 3{x^2} - 5x\).
Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm \(\left( {\frac{1}{2}; - 2} \right)\).
Mục 2 của chương trình Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức tập trung vào việc nghiên cứu về giới hạn của hàm số. Đây là một khái niệm nền tảng quan trọng, mở đầu cho chương trình Giải tích. Việc hiểu rõ về giới hạn hàm số sẽ giúp học sinh tiếp cận các khái niệm phức tạp hơn như đạo hàm, tích phân một cách dễ dàng hơn.
Mục 2 bao gồm các nội dung chính sau:
a) lim (x→2) (x^2 + 3x - 1)
Để tính giới hạn này, ta có thể thay trực tiếp x = 2 vào biểu thức:
lim (x→2) (x^2 + 3x - 1) = 2^2 + 3*2 - 1 = 4 + 6 - 1 = 9
b) lim (x→-1) (x^3 - 2x + 5)
Tương tự, ta thay x = -1 vào biểu thức:
lim (x→-1) (x^3 - 2x + 5) = (-1)^3 - 2*(-1) + 5 = -1 + 2 + 5 = 6
a) lim (x→3) (x - 3) / (x^2 - 9)
Ta có thể phân tích mẫu số thành nhân tử:
lim (x→3) (x - 3) / (x^2 - 9) = lim (x→3) (x - 3) / ((x - 3)(x + 3)) = lim (x→3) 1 / (x + 3) = 1 / (3 + 3) = 1/6
b) lim (x→0) sin(x) / x
Đây là một giới hạn lượng giác cơ bản. Ta biết rằng lim (x→0) sin(x) / x = 1
Để giải các bài tập về giới hạn hàm số, các em có thể áp dụng các phương pháp sau:
Việc nắm vững kiến thức về giới hạn hàm số là rất quan trọng đối với việc học tập môn Toán 12. Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các phương pháp giải bài tập được trình bày trong bài viết này, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán về giới hạn hàm số.
