THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 3 trang 52, 53, 54 sách giáo khoa Toán 12 tập 1 chương trình Kết nối tri thức. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức, hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, đầy đủ và trình bày một cách rõ ràng nhất để hỗ trợ tối đa cho quá trình học tập của các em.
Tích của một số với một vectơ trong không gian
Trả lời câu hỏi Câu hỏi trang 53 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Hai vectơ \(1\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow a \) có bằng nhau không? Hai vectơ \(\left( { - 1} \right)\overrightarrow a \) và \( - \overrightarrow a \) có bằng nhau không?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về hai vectơ bằng nhau để chứng minh: Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) được gọi là bằng nhau, kí hiệu \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \) nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Lời giải chi tiết:
Hai vectơ \(1\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow a \) bằng nhau vì chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Hai vectơ \(\left( { - 1} \right)\overrightarrow a \) và \( - \overrightarrow a \) bằng nhau chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 52 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC (H.2.17)
a) Hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {B'C'} \) có cùng phương không? Có cùng hướng không?
b) Giải thích vì sao \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {B'C'} } \right|\).
Phương pháp giải:
a) Sử dụng kiến thức về hai vectơ cùng phương để chứng minh: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.
b) Sử dụng kiến thức về độ dài của vectơ trong không gian để chứng minh: Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài của vectơ \(\overrightarrow a \) được kí hiệu là \(\left| {\overrightarrow a } \right|\).
Lời giải chi tiết:
a) Vì MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN//BC.
Vì BCC’B’ là hình bình hành nên BC//B’C’. Suy ra: MN//B’C’.
Do đó hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {B'C'} \) có cùng phương và cùng hướng.
b) Vì BCC’B’ là hình bình hành nên \(BC = B'C'\)
Vì MN là đường trung bình của tam giác ABC nên \(MN = \frac{1}{2}BC\)
Suy ra: \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {B'C'} } \right|\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 53SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA, SB sao cho \(SE = \frac{1}{3}SA,SF = \frac{1}{3}SB\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {DC} \).
Phương pháp giải:
+ Sử dụng kiến thức về khái niệm tích của một số với một vectơ trong không gian để chứng minh: Trong không gian, tích của một số thực \(k \ne 0\) với một vectơ \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) là một vectơ, kí hiệu là \(k\overrightarrow a \) được xác định như sau:
- Cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nếu \(k > 0\), ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nếu \(k < 0\).
- Có độ dài bằng \(\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|\).
+ Sử dụng kiến thức về hai vectơ bằng nhau để chứng minh: Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) được gọi là bằng nhau, kí hiệu \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \) nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Lời giải chi tiết:
Vì \(SE = \frac{1}{3}SA,SF = \frac{1}{3}SB \Rightarrow \frac{{SE}}{{SA}} = \frac{{SF}}{{SB}}\left( { = \frac{1}{3}} \right)\)
Tam giác SAB có: \(\frac{{SE}}{{SA}} = \frac{{SF}}{{SB}}\) nên FE//AB và \(EF = \frac{1}{3}AB\).
Vì hai vectơ \(\overrightarrow {EF} \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \) (1)
Vì ABCD là hình bình hành nên \(AB = CD\) và AB//CD. Do đó, \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \) (2)
Từ (1) và (2) ta có: \(\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {DC} \)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 54SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong Ví dụ 8, gọi I là điểm thuộc đoạn thẳng AG sao cho \(\overrightarrow {AI} = 3\overrightarrow {IG} \) (H.2.19). Chứng minh rằng \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow 0 \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm tích của một số với một vectơ trong không gian để chứng minh: Trong không gian, tích của một số thực \(k \ne 0\) với một vectơ \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) là một vectơ, kí hiệu là \(k\overrightarrow a \) được xác định như sau:
- Cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nếu \(k > 0\), ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nếu \(k < 0\).
- Có độ dài bằng \(\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|\).
Lời giải chi tiết:
Theo ví dụ 8 ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {ID} = 3\overrightarrow {AG} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = 3\overrightarrow {AG} - 3\overrightarrow {AI} = 3\left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {IA} } \right) = 3\overrightarrow {IG} = \overrightarrow {AI} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow 0 \)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 8 trang 54SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của bốn lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học (H.2.20). Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ 900km/h lên 920km/h, trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc 900km/h và 920km/h lần lượt được biểu diễn bởi hai vectơ \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \). Hãy giải thích vì sao \(\overrightarrow {{F_1}} = k\overrightarrow {{F_2}} \) với k là một số thực dương nào đó. Tính giá trị của k (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm tích của một số với một vectơ trong không gian để giải bài toán: Trong không gian, tích của một số thực \(k \ne 0\) với một vectơ \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) là một vectơ, kí hiệu là \(k\overrightarrow a \) được xác định như sau:
- Cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nếu \(k > 0\), ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nếu \(k < 0\).
- Có độ dài bằng \(\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|\).
Lời giải chi tiết:
Vì trong quá trình máy bay tăng vận tốc từ 900km/h lên 920km/h máy bay giữ nguyên hướng bay nên vectơ \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \) có cùng hướng. Do đó, \(\overrightarrow {{F_1}} = k\overrightarrow {{F_2}} \) với k là một số thực dương nào đó (1).
Gọi \({v_1},{v_2}\) lần lượt là vận tốc của của chiếc máy bay khi đạt 900km/h và 920km/h.
Suy ra \({v_1} = 900\left( {km/h} \right),{v_2} = 920\left( {km/h} \right)\)
Vì lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay nên
\(\frac{{\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|}} = \frac{{v_1^2}}{{v_2^2}} = \frac{{{{900}^2}}}{{{{920}^2}}} = \frac{{2025}}{{2116}} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \frac{{2025}}{{2116}}\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|\) (2)
Từ (1) và (2) ta có: \(\overrightarrow {{F_1}} = \frac{{2025}}{{2116}}\overrightarrow {{F_2}} \Rightarrow k = \frac{{2025}}{{2116}} \approx 0,96\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 52 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC (H.2.17)
a) Hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {B'C'} \) có cùng phương không? Có cùng hướng không?
b) Giải thích vì sao \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {B'C'} } \right|\).
Phương pháp giải:
a) Sử dụng kiến thức về hai vectơ cùng phương để chứng minh: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.
b) Sử dụng kiến thức về độ dài của vectơ trong không gian để chứng minh: Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài của vectơ \(\overrightarrow a \) được kí hiệu là \(\left| {\overrightarrow a } \right|\).
Lời giải chi tiết:
a) Vì MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN//BC.
Vì BCC’B’ là hình bình hành nên BC//B’C’. Suy ra: MN//B’C’.
Do đó hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {B'C'} \) có cùng phương và cùng hướng.
b) Vì BCC’B’ là hình bình hành nên \(BC = B'C'\)
Vì MN là đường trung bình của tam giác ABC nên \(MN = \frac{1}{2}BC\)
Suy ra: \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {B'C'} } \right|\).
Trả lời câu hỏi Câu hỏi trang 53 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Hai vectơ \(1\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow a \) có bằng nhau không? Hai vectơ \(\left( { - 1} \right)\overrightarrow a \) và \( - \overrightarrow a \) có bằng nhau không?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về hai vectơ bằng nhau để chứng minh: Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) được gọi là bằng nhau, kí hiệu \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \) nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Lời giải chi tiết:
Hai vectơ \(1\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow a \) bằng nhau vì chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Hai vectơ \(\left( { - 1} \right)\overrightarrow a \) và \( - \overrightarrow a \) bằng nhau chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 53SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA, SB sao cho \(SE = \frac{1}{3}SA,SF = \frac{1}{3}SB\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {DC} \).
Phương pháp giải:
+ Sử dụng kiến thức về khái niệm tích của một số với một vectơ trong không gian để chứng minh: Trong không gian, tích của một số thực \(k \ne 0\) với một vectơ \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) là một vectơ, kí hiệu là \(k\overrightarrow a \) được xác định như sau:
- Cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nếu \(k > 0\), ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nếu \(k < 0\).
- Có độ dài bằng \(\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|\).
+ Sử dụng kiến thức về hai vectơ bằng nhau để chứng minh: Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) được gọi là bằng nhau, kí hiệu \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \) nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Lời giải chi tiết:
Vì \(SE = \frac{1}{3}SA,SF = \frac{1}{3}SB \Rightarrow \frac{{SE}}{{SA}} = \frac{{SF}}{{SB}}\left( { = \frac{1}{3}} \right)\)
Tam giác SAB có: \(\frac{{SE}}{{SA}} = \frac{{SF}}{{SB}}\) nên FE//AB và \(EF = \frac{1}{3}AB\).
Vì hai vectơ \(\overrightarrow {EF} \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \) (1)
Vì ABCD là hình bình hành nên \(AB = CD\) và AB//CD. Do đó, \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \) (2)
Từ (1) và (2) ta có: \(\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {DC} \)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 54SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong Ví dụ 8, gọi I là điểm thuộc đoạn thẳng AG sao cho \(\overrightarrow {AI} = 3\overrightarrow {IG} \) (H.2.19). Chứng minh rằng \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow 0 \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm tích của một số với một vectơ trong không gian để chứng minh: Trong không gian, tích của một số thực \(k \ne 0\) với một vectơ \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) là một vectơ, kí hiệu là \(k\overrightarrow a \) được xác định như sau:
- Cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nếu \(k > 0\), ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nếu \(k < 0\).
- Có độ dài bằng \(\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|\).
Lời giải chi tiết:
Theo ví dụ 8 ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {ID} = 3\overrightarrow {AG} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = 3\overrightarrow {AG} - 3\overrightarrow {AI} = 3\left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {IA} } \right) = 3\overrightarrow {IG} = \overrightarrow {AI} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow 0 \)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 8 trang 54SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của bốn lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học (H.2.20). Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ 900km/h lên 920km/h, trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc 900km/h và 920km/h lần lượt được biểu diễn bởi hai vectơ \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \). Hãy giải thích vì sao \(\overrightarrow {{F_1}} = k\overrightarrow {{F_2}} \) với k là một số thực dương nào đó. Tính giá trị của k (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm tích của một số với một vectơ trong không gian để giải bài toán: Trong không gian, tích của một số thực \(k \ne 0\) với một vectơ \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) là một vectơ, kí hiệu là \(k\overrightarrow a \) được xác định như sau:
- Cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nếu \(k > 0\), ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nếu \(k < 0\).
- Có độ dài bằng \(\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|\).
Lời giải chi tiết:
Vì trong quá trình máy bay tăng vận tốc từ 900km/h lên 920km/h máy bay giữ nguyên hướng bay nên vectơ \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \) có cùng hướng. Do đó, \(\overrightarrow {{F_1}} = k\overrightarrow {{F_2}} \) với k là một số thực dương nào đó (1).
Gọi \({v_1},{v_2}\) lần lượt là vận tốc của của chiếc máy bay khi đạt 900km/h và 920km/h.
Suy ra \({v_1} = 900\left( {km/h} \right),{v_2} = 920\left( {km/h} \right)\)
Vì lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay nên
\(\frac{{\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|}} = \frac{{v_1^2}}{{v_2^2}} = \frac{{{{900}^2}}}{{{{920}^2}}} = \frac{{2025}}{{2116}} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \frac{{2025}}{{2116}}\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|\) (2)
Từ (1) và (2) ta có: \(\overrightarrow {{F_1}} = \frac{{2025}}{{2116}}\overrightarrow {{F_2}} \Rightarrow k = \frac{{2025}}{{2116}} \approx 0,96\)
Mục 3 trong SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức tập trung vào việc nghiên cứu về giới hạn của hàm số tại một điểm và giới hạn vô cực. Đây là một trong những khái niệm nền tảng quan trọng trong chương trình giải tích, đóng vai trò then chốt trong việc hiểu các khái niệm phức tạp hơn như đạo hàm và tích phân.
Mục 3 được chia thành các phần chính sau:
Trang 52 tập trung vào các bài tập vận dụng định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm. Các bài tập này thường yêu cầu học sinh phải xác định xem một hàm số có giới hạn tại một điểm hay không, và nếu có thì giới hạn đó bằng bao nhiêu.
Ví dụ, bài 1 yêu cầu tính giới hạn của hàm số f(x) = (x2 - 1) / (x - 1) khi x tiến tới 1. Để giải bài này, ta có thể phân tích tử số thành nhân tử và rút gọn biểu thức, sau đó thay x = 1 vào biểu thức rút gọn để tìm giới hạn.
Trang 53 tiếp tục với các bài tập về giới hạn tại một điểm, nhưng có độ phức tạp cao hơn. Các bài tập này có thể yêu cầu học sinh phải sử dụng các tính chất của giới hạn để biến đổi biểu thức và tìm giới hạn.
Ví dụ, bài 2 yêu cầu tính giới hạn của hàm số f(x) = (√(x + 1) - √x) khi x tiến tới 0. Để giải bài này, ta có thể nhân cả tử và mẫu với liên hợp của tử số, sau đó rút gọn biểu thức và tìm giới hạn.
Trang 54 chuyển sang các bài tập về giới hạn vô cực. Các bài tập này thường yêu cầu học sinh phải xác định giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cực hoặc âm vô cực, và sử dụng các quy tắc tính giới hạn để tìm giới hạn.
Ví dụ, bài 3 yêu cầu tính giới hạn của hàm số f(x) = (2x + 1) / (x - 3) khi x tiến tới vô cực. Để giải bài này, ta có thể chia cả tử và mẫu cho x, sau đó tìm giới hạn của biểu thức mới.
Việc nắm vững kiến thức về giới hạn là rất quan trọng để học tốt môn Toán 12. Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 3 trang 52, 53, 54 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập và giải bài tập.
