THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 1 trang 54, 55, 56 sách giáo khoa Toán 12 tập 2 chương trình Kết nối tri thức. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức, hiểu rõ phương pháp giải bài tập và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, đầy đủ và cập nhật nhất để hỗ trợ tối đa cho các em học sinh.
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 55 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:
a) Tâm là gốc tọa độ, bán kính \(R = 1\).
b) Đường kính AB, với \(A\left( {1; - 1;2} \right),B\left( {2; - 3; - 1} \right)\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để viết phương trình mặt cầu: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).
Lời giải chi tiết:
a) Mặt cầu (S) có tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\), bán kính \(R = 1\) nên có phương trình là: \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\)
b) Đoạn thẳng AB có trung điểm là \(E\left( {\frac{3}{2}; - 2;\frac{1}{2}} \right)\).
Mặt cầu (S) có bán kính \(R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 2} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\) và tâm \(E\left( {\frac{3}{2}; - 2;\frac{1}{2}} \right)\). Do đó, (S): \({\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{7}{2}\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 55 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình \({\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{9}{4}\).
a) Xác định tâm và bán kính của (S).
b) Hỏi điểm \(M\left( {2;0;1} \right)\) nằm trong, nằm ngoài hay thuộc mặt cầu (S)?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để xác định tâm và bán kính của mặt cầu: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm \(I\left( {a;{\rm{ }}b;{\rm{ }}c} \right)\), bán kính R có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).
Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để xác định vị trí của điểm so với mặt cầu: Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R và điểm M bất kì trong không gian:
+ Nếu \(IM = R\) thì M nằm trên mặt cầu (S) tâm I.
+ Nếu \(IM > R\) thì M nằm ngoài mặt cầu (S) tâm I.
+ Nếu \(IM < R\) thì M nằm trong mặt cầu (S) tâm I.
Lời giải chi tiết:
a) Ta viết lại phương trình mặt cầu (S) dưới dạng:
\({\left[ {x - \left( { - 2} \right)} \right]^2} + {\left( {y - 0} \right)^2} + {\left[ {z - \left( { - \frac{1}{2}} \right)} \right]^2} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2}\)
Do đó, mặt cầu (S) có tâm \(I\left( { - 2;0;\frac{{ - 1}}{2}} \right)\) và bán kính \(R = \frac{3}{2}\).
b) Ta có: \(MI = \sqrt {{{\left( { - 2 - 2} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ - 1}}{2} - 1} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {73} }}{2} > \frac{3}{2} = R\) nên điểm \(M\left( {2;0;1} \right)\) nằm ngoài mặt cầu (S).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 56 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho (S) là tập hợp các điểm \(M\left( {x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}z} \right)\) có tọa độ thỏa mãn phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y - 12 = 0\). Chứng minh rằng (S) là một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để chứng minh: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm \(I\left( {a;b;c} \right),\) bán kính R có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y - 12 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + \left( {{y^2} + 6y + 9} \right) + {z^2} = 25\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {z^2} = {5^2}\)
Do đó, (S) là mặt cầu có tâm \(I\left( {2; - 3;0} \right)\) và bán kính \(R = 5\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 56 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 5y + 6z + \frac{{25}}{4} = 0\).
Xác định tâm, tính bán kính của (S).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để tính: Với a, b, c, d là các hằng số, phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) có thể viết lại thành \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} - d\) và là phương trình của một mặt cầu (S) khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\). Khi đó, (S) có tâm \(I\left( {a;{\rm{ }}b;{\rm{ }}c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).
Lời giải chi tiết:
Phương trình mặt cầu (S) đã cho tương ứng với \(a = - 2;b = \frac{5}{2};c = - 3,d = \frac{{25}}{4}\)
Nên mặt cầu (S) có tâm \(I\left( { - 2;\frac{5}{2}; - 3} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} - \frac{{25}}{4}} = \sqrt {13} \)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 54 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm và bán kính R (H.5.41). Khi đó, một điểm thuộc mặt cầu (S) khi và chỉ khi nó thỏa mãn điều kiện gì?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về mặt cầu tâm để tìm điều kiện:
+ Mặt cầu tâm I bán kính R là tập hợp các điểm trong không gian cách I một khoảng bằng R.
+ Mỗi đường thẳng đi qua tâm mặt cầu đều cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt, đoạn thẳng nối hai điểm đó được gọi là đường kính mặt cầu. Mỗi đường kính của mặt cầu đều có trung điểm là tâm mặt cầu và có độ dài bằng hai lần bán kính mặt cầu.
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu tâm I bán kính R là tập hợp các điểm trong không gian cách I một khoảng bằng R.
Do đó, điểm thuộc mặt cầu (S) khi và chỉ khi .
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 54 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm và bán kính R (H.5.41). Khi đó, một điểm thuộc mặt cầu (S) khi và chỉ khi nó thỏa mãn điều kiện gì?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về mặt cầu tâm để tìm điều kiện:
+ Mặt cầu tâm I bán kính R là tập hợp các điểm trong không gian cách I một khoảng bằng R.
+ Mỗi đường thẳng đi qua tâm mặt cầu đều cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt, đoạn thẳng nối hai điểm đó được gọi là đường kính mặt cầu. Mỗi đường kính của mặt cầu đều có trung điểm là tâm mặt cầu và có độ dài bằng hai lần bán kính mặt cầu.
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu tâm I bán kính R là tập hợp các điểm trong không gian cách I một khoảng bằng R.
Do đó, điểm thuộc mặt cầu (S) khi và chỉ khi .
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 55 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình \({\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{9}{4}\).
a) Xác định tâm và bán kính của (S).
b) Hỏi điểm \(M\left( {2;0;1} \right)\) nằm trong, nằm ngoài hay thuộc mặt cầu (S)?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để xác định tâm và bán kính của mặt cầu: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm \(I\left( {a;{\rm{ }}b;{\rm{ }}c} \right)\), bán kính R có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).
Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để xác định vị trí của điểm so với mặt cầu: Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R và điểm M bất kì trong không gian:
+ Nếu \(IM = R\) thì M nằm trên mặt cầu (S) tâm I.
+ Nếu \(IM > R\) thì M nằm ngoài mặt cầu (S) tâm I.
+ Nếu \(IM < R\) thì M nằm trong mặt cầu (S) tâm I.
Lời giải chi tiết:
a) Ta viết lại phương trình mặt cầu (S) dưới dạng:
\({\left[ {x - \left( { - 2} \right)} \right]^2} + {\left( {y - 0} \right)^2} + {\left[ {z - \left( { - \frac{1}{2}} \right)} \right]^2} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2}\)
Do đó, mặt cầu (S) có tâm \(I\left( { - 2;0;\frac{{ - 1}}{2}} \right)\) và bán kính \(R = \frac{3}{2}\).
b) Ta có: \(MI = \sqrt {{{\left( { - 2 - 2} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ - 1}}{2} - 1} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {73} }}{2} > \frac{3}{2} = R\) nên điểm \(M\left( {2;0;1} \right)\) nằm ngoài mặt cầu (S).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 55 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:
a) Tâm là gốc tọa độ, bán kính \(R = 1\).
b) Đường kính AB, với \(A\left( {1; - 1;2} \right),B\left( {2; - 3; - 1} \right)\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để viết phương trình mặt cầu: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).
Lời giải chi tiết:
a) Mặt cầu (S) có tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\), bán kính \(R = 1\) nên có phương trình là: \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\)
b) Đoạn thẳng AB có trung điểm là \(E\left( {\frac{3}{2}; - 2;\frac{1}{2}} \right)\).
Mặt cầu (S) có bán kính \(R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 2} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\) và tâm \(E\left( {\frac{3}{2}; - 2;\frac{1}{2}} \right)\). Do đó, (S): \({\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{7}{2}\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 56 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho (S) là tập hợp các điểm \(M\left( {x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}z} \right)\) có tọa độ thỏa mãn phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y - 12 = 0\). Chứng minh rằng (S) là một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để chứng minh: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm \(I\left( {a;b;c} \right),\) bán kính R có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y - 12 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + \left( {{y^2} + 6y + 9} \right) + {z^2} = 25\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {z^2} = {5^2}\)
Do đó, (S) là mặt cầu có tâm \(I\left( {2; - 3;0} \right)\) và bán kính \(R = 5\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 56 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 5y + 6z + \frac{{25}}{4} = 0\).
Xác định tâm, tính bán kính của (S).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để tính: Với a, b, c, d là các hằng số, phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) có thể viết lại thành \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} - d\) và là phương trình của một mặt cầu (S) khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\). Khi đó, (S) có tâm \(I\left( {a;{\rm{ }}b;{\rm{ }}c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).
Lời giải chi tiết:
Phương trình mặt cầu (S) đã cho tương ứng với \(a = - 2;b = \frac{5}{2};c = - 3,d = \frac{{25}}{4}\)
Nên mặt cầu (S) có tâm \(I\left( { - 2;\frac{5}{2}; - 3} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} - \frac{{25}}{4}} = \sqrt {13} \)
Mục 1 của chương trình Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức tập trung vào việc ôn tập và hệ thống hóa kiến thức về đạo hàm. Đây là một phần quan trọng, nền tảng cho việc giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình. Việc nắm vững các khái niệm, định lý và kỹ năng liên quan đến đạo hàm là điều kiện cần thiết để đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
Mục 1 bao gồm các nội dung chính sau:
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
Lời giải:
Bài 2: Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = x3 - 2x2 + x.
Lời giải:
f'(x) = 3x2 - 4x + 1
f''(x) = 6x - 4
Bài 3: Tìm các điểm cực trị của hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2.
Lời giải:
f'(x) = 3x2 - 6x
Giải phương trình f'(x) = 0, ta được x = 0 hoặc x = 2.
f''(x) = 6x - 6
f''(0) = -6 < 0, suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là f(0) = 2.
f''(2) = 6 > 0, suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là f(2) = -2.
Sách giáo khoa Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Sách bài tập Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Các trang web học toán online uy tín.
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể trên đây, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về mục 1 trang 54,55,56 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức và tự tin hơn trong quá trình học tập. Chúc các em học tốt!
