Giải bài tập 4.35 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Giải bài tập 4.35 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài tập 4.35 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 thuộc chương trình học Toán 12 Kết nối tri thức. Bài tập này thường xoay quanh các kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài tập này để giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi luôn cập nhật lời giải các bài tập Toán 12 mới nhất, chính xác nhất, giúp các em học tập hiệu quả.
Nghệ thuật làm gốm có lịch sử phát triển lâu đời và vẫn còn tồn tại cho đến ngày nay. Giả sử một bình gốm có mặt trong bình là một mặt tròn xoay sinh ra khi cho phần đồ thị của hàm số (y = frac{1}{{175}}{x^2} + frac{3}{{35}}x + 5left( {0 le x le 30} right)) (x, y tính theo cm) quay tròn quanh bệ gồm có trục trùng với trục hoành Ox. Hỏi để hoàn thành bình gốm đó ta cần sử dụng bao nhiêu (c{m^3}) đất sét, biết rằng bình gốm đó có độ dày không đổi là 1cm.
Đề bài
Nghệ thuật làm gốm có lịch sử phát triển lâu đời và vẫn còn tồn tại cho đến ngày nay. Giả sử một bình gốm có mặt trong bình là một mặt tròn xoay sinh ra khi cho phần đồ thị của hàm số \(y = \frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5\left( {0 \le x \le 30} \right)\) (x, y tính theo cm) quay tròn quanh bệ gồm có trục trùng với trục hoành Ox. Hỏi để hoàn thành bình gốm đó ta cần sử dụng bao nhiêu \(c{m^3}\) đất sét, biết rằng bình gốm đó có độ dày không đổi là 1 cm.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về công thức tính thể tích của khối tròn xoay để tính: Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a; b]. Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,x = b\) xung quanh trục hoành, ta được hình khối gọi là một khối tròn xoay. Khi cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm \(x \in \left[ {a;b} \right]\) được một hình tròn có bán kính f(x). Thể tích của khối tròn xoay này là: \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \).
Lời giải chi tiết
Gọi \(f(x) = \frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5\) là đồ thị mặt trong của thành bình.
Khi đó, \(g(x) = f(x) + 1 = \frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 6\) là đồ thị mặt ngoài của thành bình (vì độ dày của bình là 1 cm).
Gọi \({V_N}\) là thể tích bình kể cả vỏ bình, \({V_T}\) là thể tích phần rỗng trong bình.
Khi đó, thể tích đất sét để làm bình gốm là \(V = {V_N} - {V_T}\).
\({V_T}\) được giới hạn bởi đồ thị \(f(x) = \frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5\), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 30.
Ta có \({V_T} = \pi \int\limits_0^{30} {{{\left( {\frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5} \right)}^2}dx} \approx 6513\) \((c{m^3})\).
\({V_N}\) được giới hạn bởi đồ thị \(g(x) = \frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 6\), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 31 (do đáy bình cũng dày 1 cm).
Ta có \({V_N} = \pi \int\limits_0^{31} {{{\left( {\frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 6} \right)}^2}dx} \approx 8725\) \((c{m^3})\).
Vậy thể tích đất sét để làm bình gốm là \(V = {V_N} - {V_T} \approx 8725 - 6513 = 2212\) \((c{m^3})\).
Giải bài tập 4.35 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Hướng dẫn chi tiết
Bài tập 4.35 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết một bài toán thực tế liên quan đến việc tối ưu hóa. Để giải bài tập này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
- Xác định hàm số: Đầu tiên, cần xác định hàm số biểu diễn đại lượng cần tối ưu hóa. Trong bài tập này, hàm số có thể là biểu thức tính diện tích, chi phí, lợi nhuận,...
- Tìm tập xác định của hàm số: Xác định miền giá trị của biến số trong bài toán.
- Tính đạo hàm của hàm số: Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm để tìm đạo hàm cấp nhất của hàm số.
- Giải phương trình đạo hàm bằng 0: Tìm các điểm cực trị của hàm số bằng cách giải phương trình f'(x) = 0.
- Xác định điểm cực đại, cực tiểu: Sử dụng dấu của đạo hàm cấp hai hoặc phương pháp xét dấu đạo hàm cấp nhất để xác định điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.
- Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và biên: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và các điểm biên của tập xác định.
- Kết luận: So sánh các giá trị tìm được để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số, từ đó đưa ra kết luận cho bài toán.
Ví dụ minh họa
Giả sử bài tập 4.35 yêu cầu tìm kích thước của một hình chữ nhật có diện tích cho trước sao cho chu vi nhỏ nhất. Ta có thể giải bài toán này như sau:
- Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật là x và y.
- Diện tích của hình chữ nhật là S = xy (không đổi).
- Chu vi của hình chữ nhật là P = 2(x + y).
- Từ S = xy, ta có y = S/x.
- Thay y = S/x vào P = 2(x + y), ta được P = 2(x + S/x).
- Tính đạo hàm của P theo x: P'(x) = 2(1 - S/x2).
- Giải phương trình P'(x) = 0, ta được x2 = S, suy ra x = √S (vì x > 0).
- Khi x = √S, ta có y = S/√S = √S.
- Vậy hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất là hình vuông có cạnh bằng √S.
Lưu ý khi giải bài tập
Khi giải bài tập về ứng dụng đạo hàm, cần chú ý các điểm sau:
- Đọc kỹ đề bài để hiểu rõ yêu cầu của bài toán.
- Xác định đúng hàm số cần tối ưu hóa.
- Kiểm tra tập xác định của hàm số.
- Sử dụng đúng các quy tắc tính đạo hàm.
- Phân tích kết quả để đưa ra kết luận hợp lý.
Montoan.com.vn – Nơi đồng hành cùng bạn học Toán
Montoan.com.vn là website học Toán online uy tín, cung cấp đầy đủ các bài giảng, bài tập, lời giải chi tiết và các tài liệu học tập hữu ích khác. Chúng tôi cam kết mang đến cho bạn trải nghiệm học tập tốt nhất, giúp bạn nắm vững kiến thức và đạt kết quả cao trong các kỳ thi.
Các bài tập tương tự
Ngoài bài tập 4.35, Montoan.com.vn còn cung cấp lời giải cho nhiều bài tập khác trong SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức. Bạn có thể tìm kiếm các bài tập theo số thứ tự hoặc theo chủ đề để học tập hiệu quả.
Bảng tổng hợp các công thức đạo hàm thường dùng
| Hàm số y = f(x) | Đạo hàm y' = f'(x) |
|---|---|
| C (hằng số) | 0 |
| xn | nxn-1 |
| sin x | cos x |
| cos x | -sin x |
| ex | ex |
| ln x | 1/x |
