Chương 4. Nguyên hàm và tích phân

Chương 4: Nguyên hàm và tích phân - Giải Toán 12 Kết nối tri thức

I. Giới thiệu chung về Nguyên hàm

Nguyên hàm của một hàm số f(x) là một hàm số F(x) sao cho đạo hàm của F(x) bằng f(x), tức là F'(x) = f(x). Việc tìm nguyên hàm là một bài toán quan trọng trong giải tích, có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật.

1. Định nghĩa nguyên hàm

Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng I nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc I.

2. Tính chất của nguyên hàm

• Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x), với C là một hằng số bất kỳ.
• Hai nguyên hàm của cùng một hàm số f(x) chỉ khác nhau ở một hằng số.

II. Các quy tắc tính nguyên hàm

Để tính nguyên hàm của một hàm số, chúng ta có thể sử dụng các quy tắc sau:

1. Nguyên hàm của hàm lũy thừa

∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C, với n ≠ -1

2. Nguyên hàm của hàm lượng giác

• ∫sin(x) dx = -cos(x) + C
• ∫cos(x) dx = sin(x) + C

3. Nguyên hàm của hàm mũ và logarit

• ∫e^x dx = e^x + C
• ∫(1/x) dx = ln|x| + C

III. Phương pháp tích phân

Tích phân là một phép toán ngược của phép vi phân, được sử dụng để tính diện tích dưới đường cong của một hàm số. Có nhiều phương pháp tích phân khác nhau, bao gồm:

1. Tích phân trực tiếp

Sử dụng các quy tắc tính nguyên hàm để tìm tích phân của hàm số.

2. Tích phân từng phần

∫u dv = uv - ∫v du

3. Tích phân bằng phương pháp đổi biến

Đặt t = g(x), dt = g'(x) dx để đưa tích phân về dạng đơn giản hơn.

IV. Ứng dụng của Nguyên hàm và Tích phân

Nguyên hàm và tích phân có nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực khác nhau, bao gồm:

• Tính diện tích hình phẳng
• Tính thể tích vật thể
• Tính độ dài đường cong
• Giải các bài toán vật lý

V. Bài tập vận dụng

Dưới đây là một số bài tập vận dụng để giúp bạn hiểu rõ hơn về chương này:

1. Tính ∫(x² + 1) dx
2. Tính ∫sin(2x) dx
3. Tính ∫x*e^x dx (sử dụng tích phân từng phần)

Montoan.com.vn hy vọng rằng với những kiến thức và bài tập được cung cấp, bạn sẽ nắm vững chương 4: Nguyên hàm và tích phân - SGK Toán 12 Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt!