Giải bài tập 4.13 trang 18 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Giải bài tập 4.13 trang 18 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài tập 4.13 trang 18 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức trên website montoan.com.vn. Bài viết này sẽ cung cấp cho các em lời giải chính xác, dễ hiểu, cùng với phương pháp giải và các lưu ý quan trọng để nắm vững kiến thức.
Chúng tôi hiểu rằng việc tự học Toán đôi khi gặp nhiều khó khăn. Vì vậy, đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm của montoan.com.vn đã biên soạn bài giải này một cách cẩn thận, chi tiết, giúp các em tự tin hơn trong quá trình học tập.
Giả sử vận tốc v của dòng máu ở khoảng cách r từ tâm của động mạch bán kính R không đổi, có thể được mô hình hóa bởi công thức \(v = k\left( {{R^2} - {r^2}} \right)\), trong đó k là một hằng số. Tìm vận tốc trung bình (đối với r) của động mạch trong khoảng \(0 \le r \le R\). So sánh vận tốc trung bình với vận tốc lớn nhất.
Đề bài
Giả sử vận tốc v của dòng máu ở khoảng cách r từ tâm của động mạch bán kính R không đổi, có thể được mô hình hóa bởi công thức \(v = k\left( {{R^2} - {r^2}} \right)\), trong đó k là một hằng số. Tìm vận tốc trung bình (đối với r) của động mạch trong khoảng \(0 \le r \le R\). So sánh vận tốc trung bình với vận tốc lớn nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về định nghĩa tích phân để tính: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số \(F\left( b \right) - F\left( a \right)\) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)
Sử dụng kiến thức về định nghĩa giá trị trung bình để tính: Giá trị trung bình của hàm số liên tục f(x) trên đoạn [a; b] được định nghĩa là \(\frac{1}{{b - a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \).
Lời giải chi tiết
Vận tốc trung bình của động mạch là:
\(\frac{1}{{R - 0}}\int\limits_0^R {v\left( r \right)dr} = \frac{1}{R}\int\limits_0^R {k\left( {{R^2} - {r^2}} \right)dr} = \frac{1}{R}\int\limits_0^R {\left( {k{R^2} - k{r^2}} \right)dr} = \frac{1}{R}\left( {k{R^2}r - \frac{{k{r^3}}}{3}} \right)\left| \begin{array}{l}R\\0\end{array} \right.\)
\( = \frac{1}{R}\left( {k.{R^3} - \frac{{k{R^3}}}{3}} \right) = \frac{{2k{R^2}}}{3}\)
Do đó, vận tốc trung bình của động mạch là: \({v_{tb}} = \frac{{2k{R^2}}}{3}\).
Vì \(0 \le r \le R\) nên vận tốc của động mạch đạt giá trị lớn nhất là \({v_{\max }} = k{R^2}\) khi \(r = 0\).
Do đó, \({v_{\max }} = \frac{3}{2}{v_{tb}}\).
Giải bài tập 4.13 trang 18 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Phân tích chi tiết và phương pháp giải
Bài tập 4.13 trang 18 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức thuộc chương trình học về đạo hàm của hàm số. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế, cụ thể là tìm đạo hàm của hàm số và sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số.
Nội dung bài tập 4.13
Bài tập 4.13 thường có dạng như sau: Cho hàm số y = f(x). Tìm đạo hàm f'(x) và sử dụng đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Hoặc, bài tập có thể yêu cầu tìm cực trị của hàm số dựa trên đạo hàm.
Phương pháp giải bài tập 4.13
- Xác định hàm số: Đọc kỹ đề bài để xác định chính xác hàm số y = f(x) cần khảo sát.
- Tính đạo hàm: Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm đã học (đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp) để tính đạo hàm f'(x).
- Tìm điểm dừng: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm dừng của hàm số.
- Khảo sát dấu của đạo hàm: Lập bảng xét dấu của đạo hàm f'(x) trên các khoảng xác định của hàm số.
- Kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến: Dựa vào bảng xét dấu của đạo hàm, kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
- Tìm cực trị: Sử dụng tiêu chuẩn xét cực trị (tiêu chuẩn dấu của đạo hàm bậc nhất hoặc đạo hàm bậc hai) để xác định các điểm cực trị của hàm số.
Ví dụ minh họa giải bài tập 4.13
Ví dụ: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Tìm đạo hàm và xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Giải:
- Tính đạo hàm: y' = 3x2 - 6x
- Tìm điểm dừng: 3x2 - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
- Khảo sát dấu của đạo hàm:
| Khoảng | x | y' | Hàm số |
|---|---|---|---|
| (-∞; 0) | -1 | 3(-1)2 - 6(-1) = 9 > 0 | Đồng biến |
| (0; 2) | 1 | 3(1)2 - 6(1) = -3 < 0 | Nghịch biến |
| (2; +∞) | 3 | 3(3)2 - 6(3) = 9 > 0 | Đồng biến |
Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên khoảng (0; 2).
Lưu ý khi giải bài tập 4.13
- Nắm vững các quy tắc tính đạo hàm.
- Sử dụng bảng xét dấu đạo hàm một cách chính xác.
- Chú ý đến các điểm không xác định của hàm số.
- Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
Bài tập luyện tập
Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập tương tự trong SGK và sách bài tập Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức. Ngoài ra, các em có thể tham khảo thêm các bài giảng trực tuyến và tài liệu học tập khác trên website montoan.com.vn.
Montoan.com.vn – Đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục Toán học
Montoan.com.vn là website học toán online uy tín, cung cấp đầy đủ các bài giải chi tiết, bài giảng chất lượng, và các tài liệu học tập hữu ích cho học sinh THPT. Chúng tôi cam kết mang đến cho các em trải nghiệm học tập tốt nhất, giúp các em tự tin hơn trong việc học tập và thi cử.
