Lý thuyết Giá trị lớn nhất - nhỏ nhất hàm số Toán 12 Kết nối tri thức

Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức

Chủ đề Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là một phần quan trọng trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức. Nắm vững lý thuyết này giúp học sinh giải quyết các bài toán thực tế và nâng cao kỹ năng tư duy toán học.

montoan.com.vn cung cấp bài giảng chi tiết, dễ hiểu cùng với các bài tập vận dụng đa dạng, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin làm bài.

1. Định nghĩa Khái niệm GTLN, GTNN của hàm số

1. Định nghĩa

Khái niệm GTLN, GTNN của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.

- Số M là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) $ \le $ M với mọi $x \in D$ và tồn tại ${x_0} \in D$ sao cho $f({x_0})$ = M.

Kí hiệu M = $\mathop {\max }\limits_{x \in D} f(x)$ hoặc M = $\underset{D}{\mathop{\max }}\,f(x)$

- Số m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) $ \ge $ m với mọi $x \in D$ và tồn tại ${x_0} \in D$ sao cho $f({x_0})$ = m.

Kí hiệu m = $\mathop {\min }\limits_{x \in D} f(x)$ hoặc m = $\mathop {\min }\limits_D f(x)$

Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của hàm số $y = f(x) = \sqrt {1 - {x^2}} $

Tập xác định của hàm số là $\left[ { - 1;1} \right]$

Ta có:

$f(x) = \sqrt {1 - {x^2}} $ $ \ge $ 0; dấu bằng xảy ra khi $1 - {x^2} = 0$, tức x = -1 hoặc x = 1.

Do đó $\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 1;1} \right]} f(x) = f( - 1) = f(1) = 0$

$f(x) = \sqrt {1 - {x^2}} $ $ \le 1$; dấu bằng xảy ra khi $1 - {x^2} = 1$, tức x = 0.

Do đó $\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 1;1} \right]} f(x) = f(0) = 1$

2. Cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Giả sử y = f(x) là hàm số liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$ và có đạo hàm trên (a;b), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn $\left[ {a;b} \right]$ mà đạo hàm f’(x) = 0.

Các bước tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$:

Tìm các điểm ${x_1},{x_2},...,{x_n} \in (a;b)$, tại đó f’(x) = 0 hoặc không tồn tại
Tính $f({x_1}),f({x_2}),...,f({x_n}),f(a)$ và $f(b)$
Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có:

M = $\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x)$; m = $\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x)$

Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y = {x^4} - 4{x^2} + 3$ trên đoạn $\left[ {0;4} \right]$

Ta có: $y' = 4{x^3} - 8x = 4x({x^2} - 2);y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \sqrt 2 $ (vì $x \in \left[ {0;4} \right]$)

y(0) = 3; y(4) = 195; y($\sqrt 2 $) = -1

Do đó: $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = y(4) = 195$; $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = y(\sqrt 2 ) = - 1$

Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức 1

Bạn đang khám phá nội dung Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức trong chuyên mục bài tập toán 12 trên nền tảng toán math. Được biên soạn chuyên sâu và bám sát chặt chẽ chương trình sách giáo khoa hiện hành, bộ bài tập toán trung học phổ thông này cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, củng cố kiến thức Toán lớp 12 cho học sinh THPT, thông qua phương pháp tiếp cận trực quan và mang lại hiệu quả học tập vượt trội, tạo nền tảng vững chắc cho Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia và hành trang vào đại học.

Ghi chú: Quý thầy, cô giáo và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên MonToan.com.vn bằng cách gửi về:

Facebook: MÔN TOÁN

Email: montoanmath@gmail.com

Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức

Trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức, việc tìm giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) của hàm số đóng vai trò quan trọng, không chỉ trong việc giải quyết các bài toán cụ thể mà còn là nền tảng cho nhiều ứng dụng thực tế. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết, các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải quyết hiệu quả.

1. Khái niệm về Giá trị lớn nhất và Giá trị nhỏ nhất của hàm số

Cho hàm số f(x) xác định trên tập D.

M được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) trên D nếu f(x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại x₀ thuộc D sao cho f(x₀) = M.
m được gọi là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D nếu f(x) ≥ m với mọi x thuộc D và tồn tại x₀ thuộc D sao cho f(x₀) = m.

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập D còn được gọi là cực trị của hàm số trên D.

2. Các phương pháp tìm Giá trị lớn nhất và Giá trị nhỏ nhất của hàm số

Có nhiều phương pháp để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, tùy thuộc vào dạng hàm số và tập xác định. Dưới đây là một số phương pháp phổ biến:

a. Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số đơn điệu

Nếu hàm số f(x) đơn điệu trên một khoảng D, thì giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D sẽ đạt được tại một trong hai đầu mút của khoảng đó.

b. Phương pháp sử dụng đạo hàm

Đây là phương pháp phổ biến nhất để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Các bước thực hiện như sau:

Tính đạo hàm f'(x) của hàm số.
Tìm các điểm dừng của hàm số (các điểm mà f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định).
Lập bảng biến thiên của hàm số.
Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số dựa vào bảng biến thiên.

c. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức

Trong một số trường hợp, có thể sử dụng các bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Ví dụ, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, bất đẳng thức AM-GM,...

3. Các dạng bài tập thường gặp

Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp về chủ đề Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cho trước.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp cho trước.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thỏa mãn một điều kiện cho trước.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x² - 4x + 3 trên khoảng [0; 4].

Giải:

Tính đạo hàm: f'(x) = 2x - 4.
Tìm điểm dừng: f'(x) = 0 ⇔ 2x - 4 = 0 ⇔ x = 2.
Lập bảng biến thiên:
x 0 2 4
f'(x) - 0 +
f(x) 3 -1 3
Kết luận: Hàm số đạt giá trị lớn nhất là 3 tại x = 0 và x = 4, đạt giá trị nhỏ nhất là -1 tại x = 2.

x	0	2	4
f'(x)	-	0	+
f(x)	3	-1	3

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = -x² + 6x - 5.

Giải:

Hàm số là hàm bậc hai với hệ số a = -1 < 0, nên hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol. Hoành độ đỉnh là x = -b/2a = -6/(2*(-1)) = 3. Giá trị lớn nhất của hàm số là f(3) = -3² + 6*3 - 5 = 4.

5. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững lý thuyết và kỹ năng giải bài tập về Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, bạn nên luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau. montoan.com.vn cung cấp một hệ thống bài tập phong phú, đa dạng, được phân loại theo mức độ khó, giúp bạn củng cố kiến thức và nâng cao khả năng giải quyết vấn đề.