Giải mục 2 trang 21, 22 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Giải mục 2 trang 21, 22 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 2 trang 21, 22 sách giáo khoa Toán 12 tập 1 chương trình Kết nối tri thức. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức, hiểu rõ phương pháp giải bài tập và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những nội dung chất lượng, chính xác và cập nhật nhất để hỗ trợ các em học sinh học tập tốt môn Toán.
Đường tiệm cận đứng
LT2
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 22 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tìm các tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 4}}\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận ngang: Đường thẳng \(y = {y_0}\) gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = {y_0}\).
Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận đứng: Đường thẳng \(x = {x_0}\) gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = + \infty \)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x + 1}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{4}{x}}} = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x + 1}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{4}{x}}} = 2\) nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 4}}\) là \(y = 2\).
Lại có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x - 4}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{2x + 1}}{{x - 4}} = - \infty \) nên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 4}}\) đường thẳng \(x = 4\).
VD2
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 22 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Để loại bỏ p% một loài tảo độc khỏi hồ nước, người ta ước tính chi phí bỏ ra là \(C\left( p \right) = \frac{{45p}}{{100 - p}}\) (triệu đồng), với \(0 \le p < 100\). Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số C(p) và nêu ý nghĩa của đường tiệm cận này.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận đứng: Đường thẳng \(x = {x_0}\) gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = + \infty \)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{p \to {{100}^ - }} C\left( p \right) = \mathop {\lim }\limits_{p \to {{100}^ - }} \frac{{45p}}{{100 - p}} = + \infty \) nên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số C(p) là \(p = 100\).
Ý nghĩa của đường tiệm cận là: Không thể loại bỏ hết loài tảo độc ra khỏi hồ nước dù chi phí là bao nhiêu.
- HĐ2
- LT2
- VD2
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 21 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{x}{{x - 1}}\) có đồ thị (C). Với \(x > 1\), xét điểm M (x; f(x)) thuộc (C). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng \(x = 1\) (H.1.22).
a) Tính khoảng cách MH.
b) Khi M thay đổi trên (C) sao cho khoảng cách MH dần đến 0, có nhận xét gì về tung độ của điểm M?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về đọc đồ thị hàm số để đưa ra nhận xét.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(M\left( {x;\frac{x}{{x - 1}}} \right);H\left( {1;\frac{x}{{x - 1}}} \right)\)
Do đó, \(MH = \sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{\left( {\frac{x}{{x - 1}} - \frac{x}{{x - 1}}} \right)}^2}} = x - 1\) (do \(x > 1\))
b) Khi khoảng cách MH dần đến 0 thì tung độ của điểm M dần ra xa vô tận về phía trên (tung độ điểm M tiến ra \( + \infty \)).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 22 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tìm các tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 4}}\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận ngang: Đường thẳng \(y = {y_0}\) gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = {y_0}\).
Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận đứng: Đường thẳng \(x = {x_0}\) gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = + \infty \)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x + 1}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{4}{x}}} = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x + 1}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{4}{x}}} = 2\) nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 4}}\) là \(y = 2\).
Lại có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x - 4}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{2x + 1}}{{x - 4}} = - \infty \) nên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 4}}\) đường thẳng \(x = 4\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 22 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Để loại bỏ p% một loài tảo độc khỏi hồ nước, người ta ước tính chi phí bỏ ra là \(C\left( p \right) = \frac{{45p}}{{100 - p}}\) (triệu đồng), với \(0 \le p < 100\). Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số C(p) và nêu ý nghĩa của đường tiệm cận này.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận đứng: Đường thẳng \(x = {x_0}\) gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = + \infty \)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{p \to {{100}^ - }} C\left( p \right) = \mathop {\lim }\limits_{p \to {{100}^ - }} \frac{{45p}}{{100 - p}} = + \infty \) nên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số C(p) là \(p = 100\).
Ý nghĩa của đường tiệm cận là: Không thể loại bỏ hết loài tảo độc ra khỏi hồ nước dù chi phí là bao nhiêu.
HĐ2
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 21 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{x}{{x - 1}}\) có đồ thị (C). Với \(x > 1\), xét điểm M (x; f(x)) thuộc (C). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng \(x = 1\) (H.1.22).
a) Tính khoảng cách MH.
b) Khi M thay đổi trên (C) sao cho khoảng cách MH dần đến 0, có nhận xét gì về tung độ của điểm M?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về đọc đồ thị hàm số để đưa ra nhận xét.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(M\left( {x;\frac{x}{{x - 1}}} \right);H\left( {1;\frac{x}{{x - 1}}} \right)\)
Do đó, \(MH = \sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{\left( {\frac{x}{{x - 1}} - \frac{x}{{x - 1}}} \right)}^2}} = x - 1\) (do \(x > 1\))
b) Khi khoảng cách MH dần đến 0 thì tung độ của điểm M dần ra xa vô tận về phía trên (tung độ điểm M tiến ra \( + \infty \)).
Giải mục 2 trang 21, 22 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức: Tổng quan
Mục 2 của chương trình Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức tập trung vào việc nghiên cứu về giới hạn của hàm số. Đây là một khái niệm nền tảng quan trọng, mở đầu cho chương trình Giải tích. Việc nắm vững kiến thức về giới hạn sẽ giúp học sinh hiểu sâu hơn về các khái niệm tiếp theo như đạo hàm, tích phân và ứng dụng của chúng.
Nội dung chính của mục 2
Mục 2 bao gồm các nội dung chính sau:
- Khái niệm giới hạn của hàm số tại một điểm: Định nghĩa giới hạn, ý nghĩa của giới hạn, cách kiểm tra giới hạn của hàm số tại một điểm.
- Giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cùng: Định nghĩa giới hạn vô cùng, cách tính giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cùng.
- Các tính chất của giới hạn: Các tính chất cơ bản của giới hạn, cách sử dụng các tính chất để tính giới hạn.
- Các dạng giới hạn thường gặp: Giới hạn của các hàm số đa thức, phân thức, lượng giác, mũ, logarit.
Giải chi tiết bài tập trang 21, 22 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Bài 1: Tính các giới hạn sau
a) lim (x→2) (x^2 - 4) / (x - 2)
Lời giải: Ta có thể phân tích tử số thành (x - 2)(x + 2). Khi đó:
lim (x→2) (x^2 - 4) / (x - 2) = lim (x→2) (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = lim (x→2) (x + 2) = 4
b) lim (x→-1) (x^3 + 1) / (x + 1)
Lời giải: Ta có thể phân tích tử số thành (x + 1)(x^2 - x + 1). Khi đó:
lim (x→-1) (x^3 + 1) / (x + 1) = lim (x→-1) (x + 1)(x^2 - x + 1) / (x + 1) = lim (x→-1) (x^2 - x + 1) = 3
Bài 2: Cho hàm số f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1). Tính lim (x→1) f(x)
Lời giải: Ta có thể phân tích tử số thành (x - 1)(x + 1). Khi đó:
lim (x→1) f(x) = lim (x→1) (x^2 - 1) / (x - 1) = lim (x→1) (x - 1)(x + 1) / (x - 1) = lim (x→1) (x + 1) = 2
Bài 3: Tính các giới hạn sau
a) lim (x→∞) (2x + 1) / (x - 3)
Lời giải: Chia cả tử và mẫu cho x, ta được:
lim (x→∞) (2x + 1) / (x - 3) = lim (x→∞) (2 + 1/x) / (1 - 3/x) = 2/1 = 2
b) lim (x→∞) (x^2 + 1) / (x^2 + 2x + 3)
Lời giải: Chia cả tử và mẫu cho x^2, ta được:
lim (x→∞) (x^2 + 1) / (x^2 + 2x + 3) = lim (x→∞) (1 + 1/x^2) / (1 + 2/x + 3/x^2) = 1/1 = 1
Lưu ý khi giải bài tập về giới hạn
- Luôn kiểm tra xem mẫu số có bằng 0 hay không khi x tiến tới một giá trị cụ thể. Nếu mẫu số bằng 0, cần phải phân tích tử số và mẫu số để đơn giản hóa biểu thức.
- Sử dụng các tính chất của giới hạn để đơn giản hóa biểu thức và tính giới hạn một cách dễ dàng hơn.
- Khi tính giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cùng, chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x.
Kết luận
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể trên, các em học sinh đã hiểu rõ hơn về cách giải các bài tập trong mục 2 trang 21, 22 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!
