Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài 3 trong chương 1 Toán 12 Kết nối tri thức tập trung vào một khái niệm quan trọng trong việc phân tích và vẽ đồ thị hàm số: đường tiệm cận. Hiểu rõ về đường tiệm cận giúp ta xác định được hành vi của hàm số khi x tiến tới vô cùng hoặc một giá trị cụ thể, từ đó vẽ được đồ thị chính xác hơn.

1. Khái niệm đường tiệm cận

Đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) là đường thẳng mà đồ thị của hàm số tiếp cận khi x hoặc y tiến tới vô cùng.

• Tiệm cận đứng: Đường thẳng x = a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→a⁺ f(x) = ±∞ hoặc lim_x→a^- f(x) = ±∞.
• Tiệm cận ngang: Đường thẳng y = b là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→+∞ f(x) = b hoặc lim_x→-∞ f(x) = b.
• Tiệm cận xiên: Đường thẳng y = ax + b (với a ≠ 0) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→+∞ [f(x) - (ax + b)] / x = 0 hoặc lim_x→-∞ [f(x) - (ax + b)] / x = 0.

2. Phương pháp tìm đường tiệm cận

Để tìm đường tiệm cận, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm tiệm cận đứng: Xác định các giá trị x mà mẫu số của hàm số bằng 0 và tử số khác 0.
2. Tìm tiệm cận ngang: Tính giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cùng.
3. Tìm tiệm cận xiên: Tính a = lim_x→∞ f(x) / x và b = lim_x→∞ [f(x) - ax]. Nếu a ≠ 0, thì y = ax + b là tiệm cận xiên.

3. Ví dụ minh họa

Xét hàm số y = (2x + 1) / (x - 1).

• Tiệm cận đứng: x = 1 (vì mẫu số bằng 0 khi x = 1 và tử số khác 0).
• Tiệm cận ngang: y = 2 (vì lim_x→∞ (2x + 1) / (x - 1) = 2).
• Tiệm cận xiên: Không có (vì không tồn tại giới hạn a).

4. Bài tập áp dụng

Hãy tìm đường tiệm cận của các hàm số sau:

• y = (x + 2) / (x - 3)
• y = (3x² + 1) / (x² - 4)
• y = (x³ + 2x) / (x² + 1)

5. Lưu ý quan trọng

Không phải hàm số nào cũng có đường tiệm cận. Một số hàm số có thể không có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang hoặc tiệm cận xiên. Việc xác định đúng loại đường tiệm cận và phương trình của nó là rất quan trọng để vẽ được đồ thị hàm số chính xác.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài toán liên quan.