Lý thuyết Đường tiệm cận Toán 12 Kết nối tri thức

Lý thuyết Đường tiệm cận của đồ thị hàm số Toán 12 Kết nối tri thức

Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết đường tiệm cận trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức. Đây là một phần kiến thức quan trọng giúp bạn hiểu sâu hơn về hành vi của đồ thị hàm số và ứng dụng trong giải quyết các bài toán thực tế.

Bài viết này sẽ cung cấp một cách đầy đủ và dễ hiểu về các khái niệm, định lý và phương pháp tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số, đồng thời cung cấp các ví dụ minh họa cụ thể.

1. Đường tiệm cận ngang

1. Đường tiệm cận ngang

Đường thẳng \(y = {y_0}\) gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = {y_0}\)

Ví dụ: Tìm TCN của đồ thị hàm số \(y = f(x) = \frac{{3x - 2}}{{x + 1}}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x - 2}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3x - 2}}{{x + 1}} = 3\)

Vậy đồ thị hàm số f(x) có TCN là y = 3.

2. Đường tiệm cận đứng

Đường thẳng \(x = {x_0}\) gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = - \infty \);

Ví dụ: Tìm TCĐ của đồ thị hàm số \(y = f(x) = \frac{{3 - x}}{{x + 2}}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{3 - x}}{{x + 2}} = + \infty \)

Vậy đồ thị hàm số có TCĐ là x = -2

3.Đường tiệm cận xiên

Đường thẳng \(y = ax + b(a \ne 0)\) gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0\)

Ví dụ: Tìm TCX của đồ thị hàm số \(y = f(x) = x + \frac{1}{{x + 2}}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{x + 2}} = 0\)

Vậy đồ thị hàm số có TCX là y = x

Lý thuyết Đường tiệm cận của đồ thị hàm số Toán 12 Kết nối tri thức 1

Bạn đang khám phá nội dung Lý thuyết Đường tiệm cận của đồ thị hàm số Toán 12 Kết nối tri thức trong chuyên mục đề toán 12 trên nền tảng toán. Được biên soạn chuyên sâu và bám sát chặt chẽ chương trình sách giáo khoa hiện hành, bộ bài tập toán trung học phổ thông này cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, củng cố kiến thức Toán lớp 12 cho học sinh THPT, thông qua phương pháp tiếp cận trực quan và mang lại hiệu quả học tập vượt trội, tạo nền tảng vững chắc cho Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia và hành trang vào đại học.

Ghi chú: Quý thầy, cô giáo và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên MonToan.com.vn bằng cách gửi về:

Facebook: MÔN TOÁN

Email: montoanmath@gmail.com

Lý thuyết Đường tiệm cận của đồ thị hàm số Toán 12 Kết nối tri thức

Đường tiệm cận là một khái niệm quan trọng trong việc nghiên cứu đồ thị hàm số. Nó mô tả xu hướng của đồ thị hàm số khi x hoặc y tiến tới vô cùng. Việc nắm vững lý thuyết đường tiệm cận giúp học sinh hiểu rõ hơn về hình dạng và tính chất của đồ thị hàm số, từ đó giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả.

1. Khái niệm đường tiệm cận

Đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) là đường thẳng mà đồ thị hàm số tiếp cận khi x hoặc y tiến tới vô cùng.

Tiệm cận đứng: Đường thẳng x = a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→a⁺ f(x) = ±∞ hoặc lim_x→a^- f(x) = ±∞.
Tiệm cận ngang: Đường thẳng y = b là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→+∞ f(x) = b hoặc lim_x→-∞ f(x) = b.
Tiệm cận xiên: Đường thẳng y = ax + b (với a ≠ 0) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→+∞ [f(x) - (ax + b)] / x = 0 hoặc lim_x→-∞ [f(x) - (ax + b)] / x = 0.

2. Cách tìm đường tiệm cận

Để tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số, ta thực hiện các bước sau:

Tìm tiệm cận đứng: Xác định các giá trị x mà hàm số không xác định (ví dụ: mẫu số bằng 0). Kiểm tra giới hạn của hàm số tại các giá trị này.
Tìm tiệm cận ngang: Tính giới hạn của hàm số khi x tiến tới +∞ và -∞.
Tìm tiệm cận xiên: Tính a = lim_x→+∞ f(x) / x và b = lim_x→+∞ [f(x) - ax]. Nếu a ≠ 0, thì y = ax + b là tiệm cận xiên.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm đường tiệm cận của hàm số y = (2x + 1) / (x - 1).

Tiệm cận đứng: x = 1 (vì mẫu số bằng 0 khi x = 1).
Tiệm cận ngang: y = 2 (vì lim_x→+∞ (2x + 1) / (x - 1) = 2).
Tiệm cận xiên: Không có (vì không có giới hạn a ≠ 0).

Ví dụ 2: Tìm đường tiệm cận của hàm số y = x² + 1 / x.

Tiệm cận đứng: x = 0 (vì mẫu số bằng 0 khi x = 0).
Tiệm cận ngang: Không có (vì lim_x→+∞ (x² + 1) / x = +∞).
Tiệm cận xiên: y = x (vì a = lim_x→+∞ (x² + 1) / x² = 1 và b = lim_x→+∞ [(x² + 1) / x - x] = 0).

4. Ứng dụng của đường tiệm cận

Đường tiệm cận có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:

Phân tích đồ thị hàm số: Đường tiệm cận giúp xác định hình dạng và tính chất của đồ thị hàm số.
Giải quyết các bài toán thực tế: Trong các bài toán về tốc độ, sự tăng trưởng, sự suy giảm, đường tiệm cận có thể giúp mô tả xu hướng của các đại lượng.
Ứng dụng trong các lĩnh vực khác: Đường tiệm cận còn được sử dụng trong các lĩnh vực như kinh tế, vật lý, hóa học,...

5. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức về đường tiệm cận, bạn có thể thực hiện các bài tập sau:

Tìm đường tiệm cận của các hàm số sau: y = (x + 2) / (x - 3), y = (x² - 1) / (x + 1), y = (x³) / (x² + 1).
Vẽ đồ thị của các hàm số trên và xác định đường tiệm cận trên đồ thị.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về lý thuyết đường tiệm cận của đồ thị hàm số Toán 12 Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt!