THCS
THCS
Montoan.com.vn là địa chỉ tin cậy giúp học sinh giải các bài tập Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức một cách nhanh chóng và hiệu quả. Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho từng bài tập trong mục 1, trang 65, 66, 67, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin làm bài.
Chúng tôi luôn cập nhật lời giải mới nhất, đảm bảo độ chính xác cao và phù hợp với chương trình học hiện hành.
XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 66 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trở lại Ví dụ 1. Tính \(P\left( {A|\overline B } \right)\) bằng định nghĩa và bằng công thức.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về định nghĩa xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A, tính trong điều kiện biết rằng nếu biến cố B đã xảy ra, được gọi là xác suất của A với điều kiện B và kí hiệu là \(P\left( {A|B} \right)\).
Sử dụng kiến thức về công thức tính xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B bất kì, với \(P\left( B \right) > 0\). Khi đó, \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}\)
Lời giải chi tiết:
Cách 1: Bằng định nghĩa
Nếu \(\overline B \) xảy ra tức là Bình lấy được viên bi đen. Khi đó, trong hộp còn lại 29 viên bi với 20 viên bi trắng và 9 viên bi đen. Vậy \(P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{{20}}{{29}}\).
Cách 2: Bằng công thức
Bình có 30 cách chọn, An có 29 cách chọn một viên bi trong hộp. Do đó, \(n\left( \Omega \right) = 30.29\)
Bình có 10 cách chọn một viên bi đen, An có 29 cách chọn từ 29 viên bi còn lại.
Do đó, \(n\left( {\overline B } \right) = 10.29\) và \(P\left( {\overline B } \right) = \frac{{n\left( {\overline B } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\)
Bình có 10 cách chọn một viên bi đen, An có 20 cách chọn một viên bi trắng. Do đó, \(n\left( {A\overline B } \right) = 10.20\) và \(P\left( {\overline B } \right) = \frac{{n\left( {A\overline B } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\)
Vậy \(P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{{n\left( {A\overline B } \right)}}{{n\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{10.20}}{{10.29}} = \frac{{20}}{{29}}\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 65 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong một hộp kín có 7 chiếc bút bi xanh và 5 chiếc bút bi đen, các chiếc bút có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một chiếc bút trong hộp, không trả lại. Sau đó, Tùng lấy ngẫu nhiên 1 trong 11 chiếc bút còn lại. Tính xác suất để Tùng lấy được bút bi xanh nếu biết rằng Sơn đã lấy được bút bi đen.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về quy tắc nhân hai biến cố độc lập để tính: Nếu A và B độc lập thì \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\).
Lời giải chi tiết:
Gọi A là biến cố: “Tùng lấy được bút bi xanh”, B là biến cố: “Sơn lấy được bút bi đen”.
Sơn có 12 cách chọn, Tùng có 11 cách chọn một chiếc bút bi trong hộp.
Do đó, \(n\left( \Omega \right) = 12.11 = 132\)
Sơn có 5 cách chọn bút bi đen, Tùng có 11 cách chọn bút bi xanh từ 11 bút bi còn lại.
Do đó, \(n\left( B \right) = 5.11 = 55\) và \(P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\)
Sơn có 5 cách chọn bút bi đen, Tùng có 7 cách chọn bút bi xanh từ 11 bút bi còn lại.
Do đó, \(n\left( {AB} \right) = 5.7 = 35\) và \(P\left( {AB} \right) = \frac{{n\left( {AB} \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\)
Vậy xác suất để Tùng lấy được bút bi xanh nếu Sơn lấy được bút bi đen là: \(P = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{n\left( {AB} \right)}}{{n\left( B \right)}} = \frac{{35}}{{55}} = \frac{7}{{11}}\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 66 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Chứng tỏ rằng nếu A và B là hai biến cố độc lập thì \(P\left( {\overline A |B} \right) = P\left( {\overline A } \right)\) và \(P\left( {A|\overline B } \right) = P\left( A \right)\)
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về định nghĩa xác suất có điều kiện để chứng minh: Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A, tính trong điều kiện biết rằng nếu biến cố B đã xảy ra, được gọi là xác suất của A với điều kiện B và kí hiệu là \(P\left( {A|B} \right)\).
Sử dụng kiến thức về tính chất biến cố độc lập để chứng minh: Nếu cặp biến cố A và B độc lập thì cặp biến cố \(\overline A \) và B; A và \(\overline B \) cũng độc lập.
Sử dụng kiến thức về công thức tính xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B bất kì, với \(P\left( B \right) > 0\). Khi đó, \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Lời giải chi tiết:
Theo định nghĩa, \(P\left( {\overline A |B} \right)\) là xác suất của \(\overline A \), tính trong điều kiện biết rằng nếu biến cố B đã xảy ra. Vì A và B độc lập nên \(\overline A \) và B cũng độc lập. Do đó, việc xảy ra B không ảnh hưởng tới xác suất xuất hiện của \(\overline A \). Do đó, \(P\left( {\overline A |B} \right) = P\left( {\overline A } \right)\).
Theo định nghĩa, \(P\left( {A|\overline B } \right) = P\left( A \right)\) là xác suất của A, tính trong điều kiện biết rằng nếu biến cố \(\overline B \) đã xảy ra. Vì A và B độc lập nên A và \(\overline B \) cũng độc lập. Do đó, việc xảy ra \(\overline B \) không ảnh hưởng tới xác suất xuất hiện của A. Do đó, \(P\left( {A|\overline B } \right) = P\left( A \right)\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 68 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Một công ty dược phẩm muốn so sánh tác dụng điều trị bệnh X của hai loại thuốc M và N. Công ty đã tiến hành thử nghiệm với 4 000 bệnh nhân mắc bệnh X trong đó 2 400 bệnh nhân dùng thuốc M, 1 600 bệnh nhân còn lại dùng thuốc N. Kết quả được cho trong bảng dữ liệu thống kê \(2 \times 2\) như sau:
Chọn ngẫu nhiên một bệnh nhân trong số 4 000 bệnh nhân thử nghiệm sau khi uống thuốc. Tính xác suất để bệnh nhân đó
a) uống thuốc M, biết rằng bệnh nhân đó khỏi bệnh;
b) uống thuốc N, biết rằng bệnh nhân đó không khỏi bệnh.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về công thức tính xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B bất kì, với \(P\left( B \right) > 0\). Khi đó, \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Lời giải chi tiết:
Không gian mẫu \(\Omega \) là tập hợp gồm 4 000 bệnh nhân thử nghiệm nên \(n\left( \Omega \right) = 4000\)
a) Gọi A là biến cố: “Người đó uống thuốc M”, B là biến cố “Người đó khỏi bệnh”
Khi đó biến cố AB là: “Người đó uống thuốc M và khỏi bệnh”
Ta có: \(1600 + 1200 = 2800\) người khỏi bệnh nên \(n\left( B \right) = 2800\). Do đó, \(P\left( B \right) = \frac{{2800}}{{4000}}\)
Trong số những người khỏi bệnh, có 1 600 người uống thuốc M nên \(n\left( {AB} \right) = 1\;600\)
Do đó, \(P\left( {AB} \right) = \frac{{1600}}{{4000}}\). Vậy \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{1600}}{{2800}} = \frac{4}{7}\)
b) Gọi A là biến cố: “Người đó uống thuốc N”, B là biến cố “Người đó không khỏi bệnh”.
Khi đó biến cố AB là: “Người đó uống thuốc N và không khỏi bệnh”
Ta có: \(800 + 400 = 1200\) người không khỏi bệnh nên \(n\left( B \right) = 1200\). Do đó, \(P\left( B \right) = \frac{{1200}}{{4000}}\)
Trong số những người không khỏi bệnh, có 400 người uống thuốc N nên \(n\left( {AB} \right) = 400\)
Do đó, \(P\left( {AB} \right) = \frac{{400}}{{4000}}\). Vậy \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{400}}{{1200}} = \frac{1}{3}\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 65 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong một hộp kín có 7 chiếc bút bi xanh và 5 chiếc bút bi đen, các chiếc bút có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một chiếc bút trong hộp, không trả lại. Sau đó, Tùng lấy ngẫu nhiên 1 trong 11 chiếc bút còn lại. Tính xác suất để Tùng lấy được bút bi xanh nếu biết rằng Sơn đã lấy được bút bi đen.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về quy tắc nhân hai biến cố độc lập để tính: Nếu A và B độc lập thì \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\).
Lời giải chi tiết:
Gọi A là biến cố: “Tùng lấy được bút bi xanh”, B là biến cố: “Sơn lấy được bút bi đen”.
Sơn có 12 cách chọn, Tùng có 11 cách chọn một chiếc bút bi trong hộp.
Do đó, \(n\left( \Omega \right) = 12.11 = 132\)
Sơn có 5 cách chọn bút bi đen, Tùng có 11 cách chọn bút bi xanh từ 11 bút bi còn lại.
Do đó, \(n\left( B \right) = 5.11 = 55\) và \(P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\)
Sơn có 5 cách chọn bút bi đen, Tùng có 7 cách chọn bút bi xanh từ 11 bút bi còn lại.
Do đó, \(n\left( {AB} \right) = 5.7 = 35\) và \(P\left( {AB} \right) = \frac{{n\left( {AB} \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\)
Vậy xác suất để Tùng lấy được bút bi xanh nếu Sơn lấy được bút bi đen là: \(P = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{n\left( {AB} \right)}}{{n\left( B \right)}} = \frac{{35}}{{55}} = \frac{7}{{11}}\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 66 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trở lại Ví dụ 1. Tính \(P\left( {A|\overline B } \right)\) bằng định nghĩa và bằng công thức.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về định nghĩa xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A, tính trong điều kiện biết rằng nếu biến cố B đã xảy ra, được gọi là xác suất của A với điều kiện B và kí hiệu là \(P\left( {A|B} \right)\).
Sử dụng kiến thức về công thức tính xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B bất kì, với \(P\left( B \right) > 0\). Khi đó, \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}\)
Lời giải chi tiết:
Cách 1: Bằng định nghĩa
Nếu \(\overline B \) xảy ra tức là Bình lấy được viên bi đen. Khi đó, trong hộp còn lại 29 viên bi với 20 viên bi trắng và 9 viên bi đen. Vậy \(P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{{20}}{{29}}\).
Cách 2: Bằng công thức
Bình có 30 cách chọn, An có 29 cách chọn một viên bi trong hộp. Do đó, \(n\left( \Omega \right) = 30.29\)
Bình có 10 cách chọn một viên bi đen, An có 29 cách chọn từ 29 viên bi còn lại.
Do đó, \(n\left( {\overline B } \right) = 10.29\) và \(P\left( {\overline B } \right) = \frac{{n\left( {\overline B } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\)
Bình có 10 cách chọn một viên bi đen, An có 20 cách chọn một viên bi trắng. Do đó, \(n\left( {A\overline B } \right) = 10.20\) và \(P\left( {\overline B } \right) = \frac{{n\left( {A\overline B } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\)
Vậy \(P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{{n\left( {A\overline B } \right)}}{{n\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{10.20}}{{10.29}} = \frac{{20}}{{29}}\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 66 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Chứng tỏ rằng nếu A và B là hai biến cố độc lập thì \(P\left( {\overline A |B} \right) = P\left( {\overline A } \right)\) và \(P\left( {A|\overline B } \right) = P\left( A \right)\)
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về định nghĩa xác suất có điều kiện để chứng minh: Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A, tính trong điều kiện biết rằng nếu biến cố B đã xảy ra, được gọi là xác suất của A với điều kiện B và kí hiệu là \(P\left( {A|B} \right)\).
Sử dụng kiến thức về tính chất biến cố độc lập để chứng minh: Nếu cặp biến cố A và B độc lập thì cặp biến cố \(\overline A \) và B; A và \(\overline B \) cũng độc lập.
Sử dụng kiến thức về công thức tính xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B bất kì, với \(P\left( B \right) > 0\). Khi đó, \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Lời giải chi tiết:
Theo định nghĩa, \(P\left( {\overline A |B} \right)\) là xác suất của \(\overline A \), tính trong điều kiện biết rằng nếu biến cố B đã xảy ra. Vì A và B độc lập nên \(\overline A \) và B cũng độc lập. Do đó, việc xảy ra B không ảnh hưởng tới xác suất xuất hiện của \(\overline A \). Do đó, \(P\left( {\overline A |B} \right) = P\left( {\overline A } \right)\).
Theo định nghĩa, \(P\left( {A|\overline B } \right) = P\left( A \right)\) là xác suất của A, tính trong điều kiện biết rằng nếu biến cố \(\overline B \) đã xảy ra. Vì A và B độc lập nên A và \(\overline B \) cũng độc lập. Do đó, việc xảy ra \(\overline B \) không ảnh hưởng tới xác suất xuất hiện của A. Do đó, \(P\left( {A|\overline B } \right) = P\left( A \right)\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 68 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Một công ty dược phẩm muốn so sánh tác dụng điều trị bệnh X của hai loại thuốc M và N. Công ty đã tiến hành thử nghiệm với 4 000 bệnh nhân mắc bệnh X trong đó 2 400 bệnh nhân dùng thuốc M, 1 600 bệnh nhân còn lại dùng thuốc N. Kết quả được cho trong bảng dữ liệu thống kê \(2 \times 2\) như sau:
Chọn ngẫu nhiên một bệnh nhân trong số 4 000 bệnh nhân thử nghiệm sau khi uống thuốc. Tính xác suất để bệnh nhân đó
a) uống thuốc M, biết rằng bệnh nhân đó khỏi bệnh;
b) uống thuốc N, biết rằng bệnh nhân đó không khỏi bệnh.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về công thức tính xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B bất kì, với \(P\left( B \right) > 0\). Khi đó, \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Lời giải chi tiết:
Không gian mẫu \(\Omega \) là tập hợp gồm 4 000 bệnh nhân thử nghiệm nên \(n\left( \Omega \right) = 4000\)
a) Gọi A là biến cố: “Người đó uống thuốc M”, B là biến cố “Người đó khỏi bệnh”
Khi đó biến cố AB là: “Người đó uống thuốc M và khỏi bệnh”
Ta có: \(1600 + 1200 = 2800\) người khỏi bệnh nên \(n\left( B \right) = 2800\). Do đó, \(P\left( B \right) = \frac{{2800}}{{4000}}\)
Trong số những người khỏi bệnh, có 1 600 người uống thuốc M nên \(n\left( {AB} \right) = 1\;600\)
Do đó, \(P\left( {AB} \right) = \frac{{1600}}{{4000}}\). Vậy \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{1600}}{{2800}} = \frac{4}{7}\)
b) Gọi A là biến cố: “Người đó uống thuốc N”, B là biến cố “Người đó không khỏi bệnh”.
Khi đó biến cố AB là: “Người đó uống thuốc N và không khỏi bệnh”
Ta có: \(800 + 400 = 1200\) người không khỏi bệnh nên \(n\left( B \right) = 1200\). Do đó, \(P\left( B \right) = \frac{{1200}}{{4000}}\)
Trong số những người không khỏi bệnh, có 400 người uống thuốc N nên \(n\left( {AB} \right) = 400\)
Do đó, \(P\left( {AB} \right) = \frac{{400}}{{4000}}\). Vậy \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{400}}{{1200}} = \frac{1}{3}\)
Mục 1 của SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức tập trung vào chủ đề về Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Đây là một phần quan trọng trong chương trình học, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các khái niệm cơ bản, các định lý và phương pháp giải bài tập liên quan.
Bài tập này yêu cầu học sinh xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng, chứng minh đường thẳng song song, vuông góc hoặc cắt mặt phẳng. Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần nắm vững các dấu hiệu nhận biết và các tính chất liên quan.
Bài tập này hướng dẫn học sinh tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng. Công thức tính khoảng cách từ điểm M(x0, y0, z0) đến mặt phẳng (Ax + By + Cz + D = 0) là:
d(M, (P)) = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A2 + B2 + C2)
Để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, học sinh có thể chọn một điểm bất kỳ trên một mặt phẳng và tính khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng còn lại.
Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và mặt phẳng (P): 2x - y + z - 5 = 0. Chứng minh rằng đường thẳng d song song với mặt phẳng (P).
Giải: Vector chỉ phương của đường thẳng d là a = (1, -1, 2). Vector pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n = (2, -1, 1). Ta có a.n = 1*2 + (-1)*(-1) + 2*1 = 5 ≠ 0. Do đó, đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P). Để chứng minh d song song với (P), ta cần chứng minh d không có điểm chung với (P). Thay phương trình đường thẳng d vào phương trình mặt phẳng (P), ta được:
2(1 + t) - (2 - t) + (3 + 2t) - 5 = 0 ⇔ 2 + 2t - 2 + t + 3 + 2t - 5 = 0 ⇔ 5t - 2 = 0 ⇔ t = 2/5
Vì phương trình có nghiệm, nên đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại điểm có t = 2/5. Vậy, đường thẳng d không song song với mặt phẳng (P).
Để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, học sinh nên làm thêm các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Montoan.com.vn sẽ tiếp tục cập nhật thêm nhiều bài giải chi tiết và hữu ích cho các em.
Việc nắm vững kiến thức và phương pháp giải bài tập về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian là rất quan trọng đối với học sinh lớp 12. Hy vọng rằng, với những hướng dẫn chi tiết và bài giải cụ thể trong bài viết này, các em sẽ tự tin hơn trong việc học tập và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
