Chương trình Toán 12 Kết nối tri thức, phần Tính đơn điệu và cực trị của hàm số đóng vai trò quan trọng trong việc hiểu sâu về hành vi của hàm số và ứng dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.
Tại montoan.com.vn, chúng tôi cung cấp tài liệu học tập đầy đủ, bài giảng chi tiết và bài tập đa dạng để giúp bạn nắm vững kiến thức này một cách hiệu quả nhất.
1. Tính đơn điệu của hàm số Khái niệm tính đơn điệu của hàm số
1. Tính đơn điệu của hàm số
Khái niệm tính đơn điệu của hàm số
Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và y = f(x) là hàm số xác định trên K
|
Ví dụ: Hàm số y = |x| đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\)
Định lý
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.
|
Ví dụ: Hàm số \(y = {x^2} - 4x + 2\) có y’ = 2x – 4
Sử dụng BBT xét tính đơn điệu của hàm số
Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x)
|
Ví dụ: Xét chiều biến thiên của hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\)
1. Tập xác định của hàm số là \(R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)
2. Ta có: \(y' = \frac{{(x + 1) - (x - 2)}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{3}{{{{(x + 1)}^2}}} > 0\forall x \ne - 1\)
3. BBT
4. Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)
2. Cực trị của hàm số
Khái niệm cực trị của hàm số
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (a có thể là \( - \infty \), b có thể là \( + \infty \) ) và điểm \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\).
|
Ví dụ: Cho đồ thị của hàm số y = f(x) như sau
Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và \({y_{CT}}\)= y(-1) = 2
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và = y(0) = 3
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và \({y_{CT}}\)= y(1) = 2
Cách tìm cực trị của hàm số
Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm \({x_0}\) và có đạo hàm trên các khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\) và \(\left( {{x_0};b} \right)\). Khi đó:
|
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x + 30\).
Tập xác định của hàm số là R.
Ta có: \(y' = 3{x^2} - 12x + 9\); y’ = 0 \( \Leftrightarrow \)x = 1 hoặc x = 3.
BBT:
Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và = y(1) = 34
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và \({y_{CT}}\)= y(3) = 30
Chương trình Toán 12 Kết nối tri thức tập trung vào việc nghiên cứu sự biến thiên của hàm số, bao gồm tính đơn điệu và cực trị. Đây là nền tảng quan trọng để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến tối ưu hóa và ứng dụng thực tế.
Một hàm số f(x) được gọi là đồng biến trên một khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2, ta có f(x1) ≤ f(x2). Hàm số được gọi là nghịch biến trên một khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2, ta có f(x1) ≥ f(x2).
Để xét tính đơn điệu của hàm số, ta thường sử dụng đạo hàm. Cụ thể:
Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x0 sao cho f(x0) ≥ f(x) với mọi x thuộc (a, b). Giá trị f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số.
Điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x0 sao cho f(x0) ≤ f(x) với mọi x thuộc (a, b). Giá trị f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số.
Để tìm cực trị của hàm số, ta thực hiện các bước sau:
Tại điểm cực đại, hàm số chuyển từ đồng biến sang nghịch biến. Tại điểm cực tiểu, hàm số chuyển từ nghịch biến sang đồng biến.
Việc nắm vững mối quan hệ này giúp ta dễ dàng hình dung và phân tích sự biến thiên của hàm số.
Ví dụ 1: Xét hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số.
Giải:
Lý thuyết này có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:
Để nắm vững kiến thức về tính đơn điệu và cực trị của hàm số, bạn nên luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau. montoan.com.vn cung cấp một hệ thống bài tập phong phú và đa dạng, giúp bạn củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.
Hy vọng với những kiến thức và ví dụ trên, bạn đã có cái nhìn tổng quan về lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt!