1. Môn Toán
  2. Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức

Chương trình Toán 12 Kết nối tri thức, phần Tính đơn điệu và cực trị của hàm số đóng vai trò quan trọng trong việc hiểu sâu về hành vi của hàm số và ứng dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.

Tại montoan.com.vn, chúng tôi cung cấp tài liệu học tập đầy đủ, bài giảng chi tiết và bài tập đa dạng để giúp bạn nắm vững kiến thức này một cách hiệu quả nhất.

1. Tính đơn điệu của hàm số Khái niệm tính đơn điệu của hàm số

1. Tính đơn điệu của hàm số

Khái niệm tính đơn điệu của hàm số

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và y = f(x) là hàm số xác định trên K

  • Hàm số y = f(x) đồng biến trên K nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\)
  • Hàm số y = f(x) nghịch biến trên K nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\)

Ví dụ: Hàm số y = |x| đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\)

Định lý

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

  • Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) > 0
  • Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) < 0

Ví dụ: Hàm số \(y = {x^2} - 4x + 2\) có y’ = 2x – 4

  • y’ > 0 với \(x \in (2; + \infty )\) nên HS đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)
  • y’ < 0 với \(x \in ( - \infty ;2)\) nên HS đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\)

Sử dụng BBT xét tính đơn điệu của hàm số

Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x)

  1. Tìm tập xác định của hàm số.
  2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm \({x_i}\)(i=1,2,…) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
  3. Sắp xếp các điểm \({x_i}\) theo thứ tự tăng dần và lập BBT của hàm số.
  4. Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Ví dụ: Xét chiều biến thiên của hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\)

1. Tập xác định của hàm số là \(R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

2. Ta có: \(y' = \frac{{(x + 1) - (x - 2)}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{3}{{{{(x + 1)}^2}}} > 0\forall x \ne - 1\)

3. BBT

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức 1

4. Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)

2. Cực trị của hàm số

Khái niệm cực trị của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (a có thể là \( - \infty \), b có thể là \( + \infty \) ) và điểm \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\).

  • Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(\({x_0}\)) \(\forall x \in \left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right) \subset \left( {a;b} \right)\) và \(x \ne {x_0}\) thì hàm số f(x) đạt cực đại tại \({x_0}\)
  • Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(\({x_0}\)) \(\forall x \in \left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right) \subset \left( {a;b} \right)\) và \(x \ne {x_0}\) thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại \({x_0}\)

Ví dụ: Cho đồ thị của hàm số y = f(x) như sau

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức 2

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và \({y_{CT}}\)= y(-1) = 2

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và = y(0) = 3

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và \({y_{CT}}\)= y(1) = 2

Cách tìm cực trị của hàm số

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm \({x_0}\) và có đạo hàm trên các khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\) và \(\left( {{x_0};b} \right)\). Khi đó:

  • Nếu f’(x) < 0 \(\forall x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) > 0 \(\forall x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì \({x_0}\) là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)
  • Nếu f’(x) > 0 \(\forall x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) < 0 \(\forall x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì \({x_0}\) là một điểm cực đại của hàm số f(x)

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x + 30\).

Tập xác định của hàm số là R.

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 12x + 9\); y’ = 0 \( \Leftrightarrow \)x = 1 hoặc x = 3.

BBT:

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức 3

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và = y(1) = 34

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và \({y_{CT}}\)= y(3) = 30

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức 4

Bạn đang khám phá nội dung Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức trong chuyên mục giải sgk toán 12 trên nền tảng môn toán. Được biên soạn chuyên sâu và bám sát chặt chẽ chương trình sách giáo khoa hiện hành, bộ bài tập toán trung học phổ thông này cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, củng cố kiến thức Toán lớp 12 cho học sinh THPT, thông qua phương pháp tiếp cận trực quan và mang lại hiệu quả học tập vượt trội, tạo nền tảng vững chắc cho Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia và hành trang vào đại học.
Ghi chú: Quý thầy, cô giáo và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên MonToan.com.vn bằng cách gửi về:
Facebook: MÔN TOÁN
Email: montoanmath@gmail.com

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức

Chương trình Toán 12 Kết nối tri thức tập trung vào việc nghiên cứu sự biến thiên của hàm số, bao gồm tính đơn điệu và cực trị. Đây là nền tảng quan trọng để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến tối ưu hóa và ứng dụng thực tế.

I. Khái niệm về tính đơn điệu của hàm số

Một hàm số f(x) được gọi là đồng biến trên một khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2, ta có f(x1) ≤ f(x2). Hàm số được gọi là nghịch biến trên một khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2, ta có f(x1) ≥ f(x2).

Để xét tính đơn điệu của hàm số, ta thường sử dụng đạo hàm. Cụ thể:

  • Nếu f'(x) > 0 trên (a, b) thì hàm số đồng biến trên (a, b).
  • Nếu f'(x) < 0 trên (a, b) thì hàm số nghịch biến trên (a, b).
  • Nếu f'(x) = 0 trên (a, b) thì hàm số không đơn điệu trên (a, b).

II. Khái niệm về cực trị của hàm số

Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x0 sao cho f(x0) ≥ f(x) với mọi x thuộc (a, b). Giá trị f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số.

Điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x0 sao cho f(x0) ≤ f(x) với mọi x thuộc (a, b). Giá trị f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số.

Để tìm cực trị của hàm số, ta thực hiện các bước sau:

  1. Tìm tập xác định của hàm số.
  2. Tính đạo hàm f'(x).
  3. Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm tới hạn.
  4. Xét dấu của f'(x) trên các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn để xác định điểm cực đại và điểm cực tiểu.

III. Mối quan hệ giữa tính đơn điệu và cực trị

Tại điểm cực đại, hàm số chuyển từ đồng biến sang nghịch biến. Tại điểm cực tiểu, hàm số chuyển từ nghịch biến sang đồng biến.

Việc nắm vững mối quan hệ này giúp ta dễ dàng hình dung và phân tích sự biến thiên của hàm số.

IV. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số.

Giải:

  • f'(x) = 3x^2 - 6x
  • Giải f'(x) = 0 ta được x = 0 hoặc x = 2.
  • Xét dấu f'(x):
    • x < 0: f'(x) > 0 => Hàm số đồng biến trên (-∞, 0)
    • 0 < x < 2: f'(x) < 0 => Hàm số nghịch biến trên (0, 2)
    • x > 2: f'(x) > 0 => Hàm số đồng biến trên (2, +∞)
  • Kết luận: Hàm số có cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là f(0) = 2. Hàm số có cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là f(2) = -2.

V. Ứng dụng của lý thuyết tính đơn điệu và cực trị

Lý thuyết này có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:

  • Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cho trước.
  • Giải các bài toán tối ưu hóa trong kinh tế, kỹ thuật.
  • Phân tích sự biến thiên của các hiện tượng tự nhiên và xã hội.

VI. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về tính đơn điệu và cực trị của hàm số, bạn nên luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau. montoan.com.vn cung cấp một hệ thống bài tập phong phú và đa dạng, giúp bạn củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.

Hy vọng với những kiến thức và ví dụ trên, bạn đã có cái nhìn tổng quan về lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt!

Tài liệu, đề thi và đáp án Toán 12

Tài liệu, đề thi và đáp án Toán 12