THCS
THCS
Montoan.com.vn là địa chỉ tin cậy giúp học sinh giải các bài tập Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức một cách nhanh chóng và hiệu quả. Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho mục 3 trang 23, 24, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Chúng tôi luôn cập nhật lời giải mới nhất, đảm bảo độ chính xác cao và phù hợp với chương trình học hiện hành.
Đường tiệm cận xiên
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 24 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 4x + 2}}{{1 - x}}\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tìm khái niệm đường tiệm cận xiên để tìm tiệm cận xiên: Đường thẳng \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {ax + b} \right)} \right] = 0\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {ax + b} \right)} \right] = 0\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 4x + 2}}{{1 - x}} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} - 4x + 2}}{{1 - x}} = - \infty \)
Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là đường thẳng \(x = 1\)
Ta có: \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 4x + 2}}{{1 - x}} = - x + 3 - \frac{1}{{1 - x}}\)
Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( { - x + 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 1}}{{1 - x}} = 0\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( { - x + 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 1}}{{1 - x}} = 0\)
Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là đường thẳng \(y = - x + 3\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 23 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = x - 1 + \frac{2}{{x + 1}}\) có đồ thị (C) và đường thẳng \(y = x - 1\) như Hình 1.24.
a) Với \(x > - 1\), xét điểm M (x; f(x)) thuộc (C). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng \(y = x - 1\). Có nhận xét gì về khoảng cách MH khi \(x \to + \infty \)?
b) Chứng tỏ rằng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right] = 0\). Tính chất này thể hiện trên Hình 1.24 như thế nào?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về giới hạn của hàm số để tính giới hạn.
Lời giải chi tiết:
a) Nhìn vào đồ thị ta thấy, khi \(x \to + \infty \) thì khoảng cách MH tiến tới 0.
b) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x - 1 + \frac{2}{{x + 1}} - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{2}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{2}{x}}}{{1 + \frac{1}{x}}} = 0\)
Tính chất này được thể hiện trong Hình 1.24 là: Khoảng cách từ điểm M của đồ thị hàm số (C) đến đường thẳng \(y = x - 1\) tiến đến 0 khi \(x \to + \infty \).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 24 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 4x + 2}}{{1 - x}}\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tìm khái niệm đường tiệm cận xiên để tìm tiệm cận xiên: Đường thẳng \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {ax + b} \right)} \right] = 0\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {ax + b} \right)} \right] = 0\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 4x + 2}}{{1 - x}} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} - 4x + 2}}{{1 - x}} = - \infty \)
Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là đường thẳng \(x = 1\)
Ta có: \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 4x + 2}}{{1 - x}} = - x + 3 - \frac{1}{{1 - x}}\)
Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( { - x + 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 1}}{{1 - x}} = 0\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( { - x + 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 1}}{{1 - x}} = 0\)
Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là đường thẳng \(y = - x + 3\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 23 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = x - 1 + \frac{2}{{x + 1}}\) có đồ thị (C) và đường thẳng \(y = x - 1\) như Hình 1.24.
a) Với \(x > - 1\), xét điểm M (x; f(x)) thuộc (C). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng \(y = x - 1\). Có nhận xét gì về khoảng cách MH khi \(x \to + \infty \)?
b) Chứng tỏ rằng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right] = 0\). Tính chất này thể hiện trên Hình 1.24 như thế nào?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về giới hạn của hàm số để tính giới hạn.
Lời giải chi tiết:
a) Nhìn vào đồ thị ta thấy, khi \(x \to + \infty \) thì khoảng cách MH tiến tới 0.
b) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x - 1 + \frac{2}{{x + 1}} - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{2}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{2}{x}}}{{1 + \frac{1}{x}}} = 0\)
Tính chất này được thể hiện trong Hình 1.24 là: Khoảng cách từ điểm M của đồ thị hàm số (C) đến đường thẳng \(y = x - 1\) tiến đến 0 khi \(x \to + \infty \).
Mục 3 trong SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức tập trung vào việc nghiên cứu về giới hạn của hàm số tại một điểm. Đây là một khái niệm nền tảng quan trọng trong giải tích, mở đầu cho việc học về đạo hàm và tích phân. Việc nắm vững kiến thức về giới hạn sẽ giúp học sinh hiểu rõ hơn về sự biến đổi của hàm số và ứng dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.
a) lim (x→2) (x^2 - 4) / (x - 2)
Lời giải: Ta có thể phân tích tử số thành (x - 2)(x + 2). Khi đó:
lim (x→2) (x^2 - 4) / (x - 2) = lim (x→2) (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = lim (x→2) (x + 2) = 4
b) lim (x→0) sin(x) / x
Lời giải: Đây là một giới hạn đặc biệt, có giá trị bằng 1.
lim (x→0) sin(x) / x = 1
Lời giải: Tương tự như bài 1, ta có thể phân tích tử số thành (x - 1)(x + 1). Khi đó:
lim (x→1) (x^2 - 1) / (x - 1) = lim (x→1) (x - 1)(x + 1) / (x - 1) = lim (x→1) (x + 1) = 2
Lời giải: Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm số đa thức, ta có:
f'(x) = 3x^2 - 2
f'(2) = 3(2)^2 - 2 = 12 - 2 = 10
Việc giải các bài tập về giới hạn trong SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức đòi hỏi sự hiểu biết vững chắc về khái niệm giới hạn và các phương pháp tính giới hạn. Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các lưu ý trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán về giới hạn và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
