Giải bài tập 5.25 trang 59 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 9\).

Xác định tâm và bán kính của (S).

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 5.25 trang 59 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức 1

Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để xác định tâm và bán kính của mặt cầu: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm \(I\left( {a;{\rm{ }}b;{\rm{ }}c} \right)\), bán kính R có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).

Lời giải chi tiết

Ta viết lại phương trình mặt cầu (S) dưới dạng: \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left[ {y - \left( { - 1} \right)} \right]^2} + {\left( {z - 0} \right)^2} = {3^2}\)

Do đó, mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {\frac{1}{2}; - 1;0} \right)\) và bán kính \(R = 3\).

Giải bài tập 5.25 trang 59 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Tổng quan

Bài tập 5.25 thuộc chương trình Toán 12 tập 2, Kết nối tri thức, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Bài tập này thường yêu cầu học sinh xác định các điểm cực trị của hàm số, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cho trước, hoặc giải các bài toán tối ưu hóa.

Nội dung bài tập 5.25

Bài tập 5.25 thường có dạng như sau: Cho hàm số y = f(x). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a, b]. Hoặc, tìm các điểm cực trị của hàm số. Để giải quyết bài tập này, học sinh cần:

Tính đạo hàm f'(x).
Tìm các điểm mà f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.
Xác định dấu của f'(x) trên các khoảng xác định để tìm các điểm cực trị.
Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại các đầu mút của đoạn [a, b].
So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a, b].

Ví dụ minh họa giải bài tập 5.25

Ví dụ: Cho hàm số y = x³ - 3x² + 2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1, 3].

Giải:

Tính đạo hàm: y' = 3x² - 6x.
Tìm các điểm mà y' = 0: 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2.
Xác định dấu của y':
- Trên khoảng (-1, 0), y' > 0.
- Trên khoảng (0, 2), y' < 0.
- Trên khoảng (2, 3), y' > 0.
Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại các đầu mút:
- y(-1) = -1 - 3 + 2 = -2.
- y(0) = 2.
- y(2) = 8 - 12 + 2 = -2.
- y(3) = 27 - 27 + 2 = 2.
So sánh các giá trị: Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-1, 3] là 2, đạt được tại x = 0 và x = 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1, 3] là -2, đạt được tại x = -1 và x = 2.

Các dạng bài tập thường gặp

Ngoài dạng bài tập tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, bài tập 5.25 còn có thể xuất hiện ở các dạng khác như:

Tìm các điểm cực trị của hàm số.
Giải các bài toán tối ưu hóa trong thực tế (ví dụ: tìm kích thước của một hình hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất với một diện tích bề mặt cho trước).
Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị.

Mẹo giải bài tập 5.25 hiệu quả

Để giải bài tập 5.25 một cách hiệu quả, học sinh nên:

Nắm vững kiến thức về đạo hàm và các ứng dụng của đạo hàm.
Luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài tập khác nhau.
Sử dụng các công cụ hỗ trợ như máy tính bỏ túi hoặc phần mềm vẽ đồ thị.
Kiểm tra lại kết quả sau khi giải xong.

Tài liệu tham khảo

Học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để hiểu rõ hơn về bài tập 5.25:

Sách giáo khoa Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức.
Sách bài tập Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức.
Các trang web học toán online uy tín.

Kết luận

Bài tập 5.25 trang 59 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và các ứng dụng của đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và các hướng dẫn trong bài viết này, các em sẽ tự tin hơn khi giải quyết các bài tập tương tự.