Bài 14. Phương trình mặt phẳng

Bài 14 trong chương trình Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức tập trung vào việc nghiên cứu phương trình mặt phẳng trong không gian. Đây là một phần quan trọng của chương Phương pháp tọa độ trong không gian, giúp học sinh hiểu rõ hơn về các đối tượng hình học trong không gian ba chiều.

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Một mặt phẳng trong không gian được xác định duy nhất bởi một điểm thuộc mặt phẳng và một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Vectơ pháp tuyến là vectơ vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng. Nếu mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n = (a; b; c) và đi qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀), thì phương trình của mặt phẳng (P) có dạng:

a(x - x₀) + b(y - y₀) + c(z - z₀) = 0

2. Các dạng phương trình của mặt phẳng

• Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0, trong đó (A; B; C) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
• Phương trình tham số của mặt phẳng:
  • x = x₀ + at + bu
  • y = y₀ + bt + cu
  • z = z₀ + ct + du
  Trong đó, (a; b; c) và (u; v; d) là hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng.

3. Điều kiện để ba điểm xác định một mặt phẳng

Ba điểm A, B, C không thẳng hàng xác định một mặt phẳng duy nhất. Để tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm này, ta có thể thực hiện các bước sau:

1. Tìm hai vectơ AB và AC.
2. Tính tích có hướng của hai vectơ này để tìm vectơ pháp tuyến n = AB x AC.
3. Sử dụng công thức phương trình mặt phẳng với vectơ pháp tuyến n và một trong ba điểm A, B, hoặc C.

4. Góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng. Nếu hai vectơ pháp tuyến n₁ và n₂, thì góc φ giữa hai mặt phẳng được tính bằng công thức:

cos φ = |n₁ . n₂| / (||n₁|| . ||n₂||)

5. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vectơ pháp tuyến n = (2; -1; 1).

Giải: Phương trình mặt phẳng có dạng: 2(x - 1) - (y - 2) + (z - 3) = 0, hay 2x - y + z - 3 = 0.

Ví dụ 2: Tìm góc giữa hai mặt phẳng (P): x + y + z - 1 = 0 và (Q): x - y + z - 2 = 0.

Giải: Vectơ pháp tuyến của (P) là n₁ = (1; 1; 1), vectơ pháp tuyến của (Q) là n₂ = (1; -1; 1). cos φ = |(1)(1) + (1)(-1) + (1)(1)| / (√(1² + 1² + 1²) . √(1² + (-1)² + 1²)) = 1/3. Vậy φ = arccos(1/3).

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về phương trình mặt phẳng, các em nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Các bài tập này có thể được tìm thấy trong sách giáo khoa, sách bài tập, hoặc trên các trang web học toán online như montoan.com.vn. Việc giải bài tập thường xuyên sẽ giúp các em hiểu sâu hơn về lý thuyết và rèn luyện kỹ năng giải toán.

Hy vọng bài học này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về phương trình mặt phẳng và ứng dụng của nó trong không gian. Chúc các em học tập tốt!