Giải bài tập 1.39 trang 43 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Giải bài tập 1.39 trang 43 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Bài tập 1.39 trang 43 SGK Toán 12 tập 1 thuộc chương trình học Toán 12 Kết nối tri thức. Đây là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài tập này, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Đồ thị trong Hình 1.38 là đồ thị của hàm số: A. \(y = x - \frac{1}{{x + 1}}\). B. \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\). C. \(y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x + 1}}\). D. \(y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\).
Đề bài
Đồ thị trong Hình 1.38 là đồ thị của hàm số:
A. \(y = x - \frac{1}{{x + 1}}\).B. \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\).C. \(y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x + 1}}\).D. \(y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về điểm thuộc đồ thị hàm số, dạng của đồ thị hàm số, tiệm cận của đồ thị hàm số để tìm đồ thị hàm số đúng.
Lời giải chi tiết
Đồ thị hàm số trong hình 1.38 có dạng: \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{px + q}}\left( {a \ne 0,p \ne 0} \right)\) và đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu. Do đó, loại đáp án B.
Đồ thị hàm số trong hình 1.38 đi qua điểm \[\left( { - 2; - 3} \right)\]. Do đó, loại đáp án C.
Đồ thị hàm số trong hình 1.38 đi qua điểm (0; 1). Do đó, loại đáp án A.
Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = x + \frac{1}{{x + 1}}\) có:
+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = - \infty \) nên đường thẳng \(x = - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x + \frac{1}{{x + 1}} - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{x + 1}} = 0\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {x + \frac{1}{{x + 1}} - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{x + 1}} = 0\) nên đường thẳng \(y = x\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Chọn D
Giải bài tập 1.39 trang 43 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức: Hướng dẫn chi tiết
Bài tập 1.39 yêu cầu chúng ta khảo sát hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
- Xác định tập xác định của hàm số: Hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2 là một hàm đa thức, do đó tập xác định của hàm số là D = ℝ.
- Tính đạo hàm bậc nhất f'(x): f'(x) = 3x2 - 6x.
- Tìm các điểm cực trị của hàm số: Giải phương trình f'(x) = 0, ta được 3x2 - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0. Vậy x = 0 hoặc x = 2.
- Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số:
- Với x < 0, f'(x) > 0, hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 0).
- Với 0 < x < 2, f'(x) < 0, hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).
- Với x > 2, f'(x) > 0, hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞).
- Tìm cực đại, cực tiểu của hàm số:
- Tại x = 0, f'(x) đổi dấu từ dương sang âm, hàm số đạt cực đại tại x = 0 và f(0) = 2.
- Tại x = 2, f'(x) đổi dấu từ âm sang dương, hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và f(2) = -2.
- Tính đạo hàm bậc hai f''(x): f''(x) = 6x - 6.
- Tìm điểm uốn của hàm số: Giải phương trình f''(x) = 0, ta được 6x - 6 = 0 ⇔ x = 1.
- Xác định khoảng lồi và lõm của hàm số:
- Với x < 1, f''(x) < 0, hàm số lõm trên khoảng (-∞; 1).
- Với x > 1, f''(x) > 0, hàm số lồi trên khoảng (1; +∞).
- Vẽ đồ thị hàm số: Dựa vào các kết quả trên, ta có thể vẽ được đồ thị hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2.
Kết luận
Thông qua việc giải bài tập 1.39, chúng ta đã nắm vững các bước khảo sát hàm số bằng đạo hàm, bao gồm việc xác định tập xác định, đạo hàm, cực trị, khoảng đồng biến nghịch biến, điểm uốn và vẽ đồ thị hàm số. Đây là một kỹ năng quan trọng trong chương trình Toán 12 và sẽ giúp các em học sinh giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong tương lai.
Ví dụ minh họa
Để hiểu rõ hơn về cách giải bài tập này, chúng ta hãy xem xét một ví dụ khác. Giả sử chúng ta có hàm số g(x) = x4 - 4x2 + 3. Chúng ta có thể áp dụng các bước tương tự như trên để khảo sát hàm số này.
Lưu ý quan trọng
Khi giải các bài tập về khảo sát hàm số, các em cần chú ý đến việc xác định đúng tập xác định, đạo hàm và các điểm cực trị. Ngoài ra, việc vẽ đồ thị hàm số cũng rất quan trọng để hiểu rõ hơn về tính chất của hàm số.
Bài tập tương tự
Để rèn luyện kỹ năng giải bài tập về khảo sát hàm số, các em có thể làm thêm các bài tập tương tự trong SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức hoặc các đề thi thử Toán 12.
Tài liệu tham khảo
- Sách giáo khoa Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
- Sách bài tập Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
- Các trang web học toán online uy tín
Bảng tóm tắt kết quả khảo sát hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2
| Đặc điểm | Kết quả |
|---|---|
| Tập xác định | ℝ |
| Điểm cực đại | (0; 2) |
| Điểm cực tiểu | (2; -2) |
| Điểm uốn | (1; 0) |
| Khoảng đồng biến | (-∞; 0), (2; +∞) |
| Khoảng nghịch biến | (0; 2) |
| Khoảng lõm | (-∞; 1) |
| Khoảng lồi | (1; +∞) |
