Bài 7. Hệ trục tọa độ trong không gian

Bài 7. Hệ trục tọa độ trong không gian - Giải chi tiết SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Bài 7 trong chương 2 của sách Toán 12 Kết nối tri thức tập 1 tập trung vào việc xây dựng và ứng dụng hệ trục tọa độ trong không gian Oxyz. Đây là nền tảng quan trọng để biểu diễn các điểm, vectơ và phương trình trong không gian ba chiều.

1. Hệ trục tọa độ trong không gian Oxyz

Hệ trục tọa độ trong không gian Oxyz được tạo thành bởi ba trục vuông góc với nhau tại gốc O: trục Ox, trục Oy và trục Oz. Mỗi điểm trong không gian được xác định duy nhất bởi bộ ba tọa độ (x, y, z), trong đó x, y, z là hình chiếu vuông góc của điểm đó lên các trục Ox, Oy, Oz.

2. Các phép toán vectơ trong không gian

Trong không gian Oxyz, các phép toán vectơ như cộng, trừ, nhân với một số thực, và tích vô hướng được thực hiện tương tự như trong mặt phẳng. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng các vectơ trong không gian có ba thành phần tọa độ.

a. Cộng và trừ vectơ

Cho hai vectơ a = (x₁, y₁, z₁) và b = (x₂, y₂, z₂). Khi đó:

• a + b = (x₁ + x₂, y₁ + y₂, z₁ + z₂)
• a - b = (x₁ - x₂, y₁ - y₂, z₁ - z₂)

b. Nhân vectơ với một số thực

Cho vectơ a = (x, y, z) và số thực k. Khi đó:

ka = (kx, ky, kz)

c. Tích vô hướng của hai vectơ

Cho hai vectơ a = (x₁, y₁, z₁) và b = (x₂, y₂, z₂). Khi đó:

a.b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂

3. Ứng dụng của hệ trục tọa độ trong không gian

Hệ trục tọa độ trong không gian có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và các lĩnh vực khác, bao gồm:

• Biểu diễn và tính toán các đại lượng hình học trong không gian.
• Giải các bài toán về khoảng cách, góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng.
• Xây dựng và nghiên cứu các phương trình trong không gian.

4. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức về hệ trục tọa độ trong không gian, các em có thể thực hành giải các bài tập sau:

1. Cho hai điểm A(1, 2, 3) và B(4, 5, 6). Tính độ dài đoạn thẳng AB.
2. Cho vectơ a = (2, -1, 3) và b = (1, 0, -2). Tính tích vô hướng của a và b.
3. Tìm tọa độ của điểm M sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB, với A(1, 2, 3) và B(4, 5, 6).

5. Kết luận

Bài 7. Hệ trục tọa độ trong không gian là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 12. Việc nắm vững kiến thức về hệ trục tọa độ trong không gian sẽ giúp các em giải quyết các bài toán hình học không gian một cách hiệu quả và chính xác. Hy vọng rằng với những giải thích chi tiết và bài tập vận dụng, các em sẽ hiểu rõ hơn về bài học này.

Montoan.com.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục kiến thức toán học. Chúc các em học tập tốt!